zwaartekrachts harmonica (gravitatietheorie)

[tuander]

Nog even een afbeelding over het raakpunt vanuit p aan de bol, en een eenvoudige berekening van een puntmassa met massa mcr in dit punt en in het middelpunt van de bol. Dit t.o.v een puntmassa met massa mp in punt p. Op zich zegt deze berekening nog niet zo veel, ik moet de volumes van de holle afgeknotte kegelsegmenten nog meenemen voor een goede newton-analyse. Ik hoop binnenkort een integraal op te stellen, maar dat gaat me even niet makkelijk af, het is geen dagelijkse bezigheid voor me.
 

vervangpuntmassa raakpunt newton.gif (25.41 KiB) 1867 keer bekeken

[Professor Puntje]

Wat stelt F_cr,o voor?
 
Verder is het extreem onwaarschijnlijk dat je via een integraal iets anders dan Newton gaat vinden. Een dergelijke afwijking was zo goed als zeker dan al lang bekend. Voor een rigoureus bewijs moet je bovendien weten hoe de integraal (als wiskundige operatie) gedefinieerd is, anders kan er naderhand altijd weer discussie ontstaan over de vraag of de betreffende integraal wel echt zus of zo is. 

[tuander]

Wat stelt F_cr,o voor?
 
Verder is het extreem onwaarschijnlijk dat je via een integraal iets anders dan Newton gaat vinden. Een dergelijke afwijking was zo goed als zeker dan al lang bekend. Voor een rigoureus bewijs moet je bovendien weten hoe de integraal (als wiskundige operatie) gedefinieerd is, anders kan er naderhand altijd weer discussie ontstaan over de vraag of de betreffende integraal wel echt zus of zo is. 

Fcr,O is de gravitatiekracht tussen een puntmassa in de oorsprong en een puntmassa in positie p. De puntmassa in de oorsprong is even groot als de puntmassa in het raakpunt, de massa van beide is mcr.
 
Maar dit alles is nog niet zo belangrijk voor het opstellen van de integraal, de werkelijke aanpak volgt...

mijn basisplan voor het opstellen van de integraal:
 
Ik begin met het definiëren van een solide eenheids cilinder, secil, te plaatsen op een willekeurige plek op de x-as. Eigenlijk niet willekeurig, ik wil de secil plaatsen op snijpunt x-as en de bol gedefiniëerd door de lengte van de raaklijn vanuit p aan de bol. lengte vd secil is dx, diameter is dy. dy=dz. dichtheid is rho.
 Vervolgens maak ik een homogene bol. Dichtheid van de bol is ook rho, afmetingen van de bol zijn te definiëren als afgeleide van de maten van de secil (dx lijkt me een mooie maat om de bol mee te definiëren, dy is een beetje moeilijker, die loopt misschien een beetje krom).
 Om een secil heen definiëer ik holle eenheids ringen, hering(en). Zie afbeelding
 

hering definities.gif (35.15 KiB) 1867 keer bekeken

 
Alle heringen met dezelfde hoek phi tel je bij elkaar op tot een hol onttopt conus segment, een hocs. Voor een hocs geldt dat elke hering die er onderdeel van uit maakt eenzelfde bijdrage levert aan de totaalgravitatie van de hocs op puntmassa in p. Dus de totaalgravitatie door hocs =  gravitatie door 1 hering * lengte hocs/dx. (zoiets geloof ik)
 Verder nog belangrijk:
massa = volume * dichtheid
inhoud bol = pi*r^3*4/3 (vierderdepiRtotdederde)
Snappen jullie me nog? Heb je handige tips? Kan ik iets vereenvoudigen?
 
Oh, een belangrijke afbeelding vergeten, de secil komt op de kruising tussen x-as en de blauwe cirkel in de volgende afbeelding

3 harmonica define mass segment phi.gif (34.64 KiB) 1867 keer bekeken

[Professor Puntje]

Verder nog belangrijk:
massa = volume * dichtheid
inhoud bol = pi*r^3*4/3 (vierderdepiRtotdederde)
Snappen jullie me nog? Heb je handige tips? Kan ik iets vereenvoudigen?

Tip: Leer en gebruik LaTeX.

[tuander]

oh, ik zie een foutje, s is de afstand van positie p tot het raakpunt. Die is alleen afhankelijk van de lengte p en de straal van de bol, niet van hoek phi. (hoek phi staat nog wel in mijn formule)

[tuander]

s = √(p²-r²)
 

hering definities beter.gif (35.11 KiB) 1868 keer bekeken

[tuander]

volume van een hering = dx * 2 * pi * (p²-r²) * sinφ*dφ
 
massa van een hering = rho * dx * 2 * pi * (p²-r²) * sinφ*dφ
 
gravitatie door 1 hering = G * mp * rho * dx * 2 * pi * (p²-r²) * sinφ*dφ / s²
 
gravitatie door 1 hering = G * mp * rho * dx * 2 * pi * (p²-r²) * sinφ*dφ / (p²-r²)
 
gravitatie door 1 hocs = ( lengte hocs / dx ) * G * mp * rho * dx * 2 * pi * (p²-r²) * sinφ*dφ / (p²-r²)
 
gravitatie door 1 hocs = lengte hocs * G * mp * rho * 2 * pi * (p²-r²) * sinφ*dφ / (p²-r²)
 
??ik wil te snel

gravitatie door 1 hocs = lengte hocs * G * mp * rho * 2 * pi  * sinφ*dφ
 
???

[tuander]

nog even een afbeelding van hoe een hocs (hollow topless cone segment) er uit ziet. Alleen het rode gedeelte in het onderstaande plaatje:
 

holle kegelvorm uit bol door roteren driehoek.gif (35.98 KiB) 1867 keer bekeken

 
op een testmassa mp in positite p is de gravitatie door 1 hocs:
 
gravitatie hocs = lengte hocs * G * mp * rho * 2 * pi  * sinφ*dφ  (onder voorbehoud)

[tuander]

Ik moet dus nog de lengte van het rode gedeelte uitdrukken in phi om een nette integraal op te stellen. Goniometrieformules zijn hier een beetje roestig. Iets met een cosinusregel? Kan iemand me op het juiste spoor zetten?

[Professor Puntje]

Ik moet dus nog de lengte van het rode gedeelte uitdrukken in phi om een nette integraal op te stellen. Goniometrieformules zijn hier een beetje roestig. Iets met een cosinusregel? Kan iemand me op het juiste spoor zetten?

 
De snijpunten van een cirkel en een rechte lijn kun je analytisch vinden door gebruik te maken van de vergelijkingen van de betreffende rechte lijn en cirkel.

[tuander]

 
De snijpunten van een cirkel en een rechte lijn kun je analytisch vinden door gebruik te maken van de vergelijkingen van de betreffende rechte lijn en cirkel.

dank, dus in dit geval:
 
cirkel:         |y| = √ (r²-x²)
en lijn:        y = (p-x) * tanφ
 
 
dus: { (x-p) * tanφ }² = r²-x²
 
Ik moet nog even nadenken geloof ik.
 
Nou ja, intussen nog even een vervolg op een eerdere formule,
de resultante richtingscomponent van de gravitatiekracht op p door de hocs met hoekφ;
F_pφ,res = cosφ * gravitatiekracht van de hocs
 
F_pφ,res   = lengte hocs * G * mp * rho * 2 * pi  * cosφ * sinφ*dφ

[tuander]

op zich wel grappig dat de afstand van de bol tot p niet uitmaakt. Alleen de hoek phi en de lengte van de lijn door de bol onder deze hoek doen ter zake. In gedachten zou je deze lengte dus ook op een andere afstand kunnen plaatsen, en toch hetzelfde resultaat krijgen. Je kunt bijvoorbeeld alle lengtes van de hocsen 'aanschuiven' tot punt p zelf, zolang de hoeken maar gelijk blijven. Zou je vervolgens een omtrekfiguur om deze aangeschoven lengtes tekenen dan krijg je een driedimensionaal lichaam tegen de testmassa aan, dat dezelfde gravitationele kracht levert op de testmassa als de bol op afstand. Dat vermoed ik tenminste. Grappig is dan dat dit imaginaire lichaam ook dichtheid rho heeft geloof ik.

[tuander]

Waarmee ik geloof ik bijna op het punt aan kom dat ik de bolschilstelling ga geloven. Voor een testmassa in p binnen een holle eindig dikke bolschil geldt dat als je radialen vanuit p tekent, dat de lengte van deze lijnen (dwz het lijnstuk dat dikke bolschil en radiale lijn gemeen hebben) aan weerszijden van p, dus in tegenoverliggende richting, even groot zijn. Deze lijnstukken zijn niet in elke richting even groot, maar wel in alle tegenoverliggende richtingen.
 
Dus dan kan het alleen nog zijn dat de wiskunde eventueel niet klopt. Zeg maar dat je iets probeert te meten, maar dat je meetlat krom is. Er is de oude timmermanstruc om een lijn langs je kromme meetlat te trekken en vervolgens je meetlat om te draaien en nog een lijn te trekken. Zijn deze twee lijnen niet parallel en hebben ze twee of meer snijpunten, dan weet je zeker dat je meetlat krom is. Misschien geldt zoiets ook voor kromme wiskunde. Wat ik hier doe met newton is wel een soort van de meetlat omdraaien om te zien of de uitkomst hetzelfde is. Dus misschien moet ik toch nog even doorzetten. Maar dan ben ik dus niet meer bezig met newton of zwaartekracht, maar met fundamentele wiskunde. Ook interessant op zich, al geloof ik niet meteen dat dit nog iets oplevert

[tuander]

Sorry voor het lange wachten, ik was met andere dingen bezig. Ik heb de lengte van de hocs in phi uitgedrukt. Ik ben wel erg vergeetachtig wat betreft integreren, het is zo'n 25 jaar geleden dat ik dat voor het laatst deed. Dus ik weet niet of ik nu de integraal kan oplossen, of dat ik nu een onoplosbaar monstertje heb gemaakt.
 

lengte hocs.gif (46.31 KiB) 1870 keer bekeken

 
De gevonden lengte van de hocs (lengte hocs = 2*a) kan ik invullen in de eerder gevonden richtingscomponent
 
Richtingscomponent = lengte hocs * G * mp * rho * 2 * pi  * cosφ * sinφ*dφ
 
En vervolgens wil ik dan alle richtingscomponenten optellen tot de totaalgravitatie van de bol op testmassa in p. via de integraal. Geen idee of dat nog lukt dus. Ik ben echt heel veel vergeten van vroeger

[Professor Puntje]

Stop het dan in:
 
http://www.wolframalpha.com/
 
Probeer eerst wat integralen die je gemakkelijk kunt controleren totdat je door hebt hoe die site werkt.