Dat is inderdaad wat ik zoek. Een voorbeeld van het waarom:
Stel je hebt
\(P=\sqrt{3}x^3+\sqrt{2}x^2+x+1=0\)
Dan kun je dit splitsen in
\(R=x+1 \\
I=\sqrt{3}x^3+\sqrt{2}x^2=\)
Voor P=0 geldt dan dus
\(x+1 = -\sqrt{3}x^3-\sqrt{2}x^2 \\
\frac{x+1}{x^2}=-\sqrt{3}x-\sqrt{2}\)
Als x rationaal is staat er nu links een per definite rationaal getal en rechts een per definitie irrationaal getal. Dus, voor P=0 kan x nooit rationaal zijn.
Echter, heb je
\(P=\sqrt{2}x^3+\sqrt{2}x^2+x+1=0\)
Dan kom je op
\(\frac{x+1}{x^2(x+1)}=-\sqrt{2}\)
Ook hier staat voor x rationaal aan de linkerkant een rationale term, en rechts een irrationale term. Alleen kun je over x=-1 geen uitspraak doen, en dat is (toevallig?) een oplossing voor P=0.
De voorbeelden die je gaf voldeden aan de voorwaarde die ik hierboven schets. Ze zijn te splitsen in twee polynomen R en I, I is te schrijven als het product van een irrationaal getal h en een polynoom met rationale coëfficiënten H. Die polynoom H is ook nog eens een deler van P (of omgekeerd), waardoor je niet over alle mogelijke x-waarden een uitspraak kunt doen. En, toevallig of niet, is die x-waarde waar je geen uitspraak over kunt doen een oplossing voor P=0.
Mijn redenering is/was nu: als je een polynoom hebt die zich níet laat schrijven als P=R + h*H, waarbij H een deler is van R of omgekeerd) , dan heb je een vorm die per definitie geen rationale nulpunten heeft. Er staat dan, voor rationale waardes van x, altijd een rationale term links en een irrationale term rechts.
Als die redenering klopt heb je criteria voor een verzameling functies
\(\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}\) die enkel transcendente functiewaarden hebben.
De volgende stap zou zijn om te onderzoeken of de afgeleide(n) van deze functies ook aan deze voorwaarde voldoen. Ik denk het wel, doordat de afgeleide eigenlijk steeds dezelfde vorm heeft:
De functie die ik oorspronkelijk voorstelde is te schrijven als
\(f(q)e^{g(q)}\)
Hierbij heeft f(q) alleen irrationale nulpunten, en g(q) enkel rationale coëfficiënten. De afgeleide is
\((f'(q)+f(q)g'(q))e^{g(q)}\)
En de vraag wordt dan of
\(f'(q)+f(q)g'(q)\) óók geen rationale nulpunten heeft. Ik
denk het wel, maar ik weet ook dat je voor denken niet zoveel koopt. Maar als het zo is: Dat zou, uiteindelijk, betekenen dat
alle afgeleiden enkel transcendente functiewaarden hebben.
Het laatste voorbeeld (gelezen terwijl ik bovenstaande schreef):
\(e \, x^5 + e \, x^2 + 1 \, x +1 = 0 \\
x+1 = -e \, (x^5 + x^2) \\
\frac{x+1}{x^2(x^3+1)}=-e \\
\frac{x+1}{x^2(x+1)(x^2-x+1)}=-e \)
Over x=-1 is geen uitspraak te doen, x=-1 is een oplossing.
p.s. op zich niet zo van belang maar e kan geen coëfficiënt zijn in de polynoom P. f(q) moet een algebraïsche functie zijn om, samen met de e-macht per definitie transcendente functiewaarden te genereren.