Delen door nul

[Bartjes]

Mogelijk zie ik iets simpels over het hoofd, maar waarom is dit nuttig om over te beschikken?

Ik was bezig een formule voor (a~b)ⁿ af te leiden met behulp van het binomium van Newton en een ingewikkeld bewijs via volledige inductie, een gigantisch karwei. Toen besefte ik ineens dat het met de reële en de antireële waarde veel eenvoudiger gaat. Omdat ik in stappen werk om het overzicht te bewaren en mijn hoofd niet over te belasten, heb ik eerst netjes in een apart berichtje de antireële waarde geïntroduceerd.

[Bartjes]

Voor alle verschilgetallen x en positieve natuurlijke getallen n definiëren we de natuurlijke machten van x aldus:

x¹ = x ,

xⁿ⁺¹ = xⁿ . x .

Voor alle verschilgetallen x en positieve natuurlijke getallen n geldt dat:

rw(xⁿ) = (rw(x))ⁿ .

Bewijs:

Laat x een willekeurig verschilgetal zijn. Voor n=1 vinden we:

rw(x¹) = rw(x) = (rw(x))¹ .

Voor n=1 gaat de te bewijzen stelling dus al vast op.

Neem nu aan dat de stelling voor een zekere n opgaat. Dan vinden we:

rw(xⁿ) = (rw(x))ⁿ

rw(xⁿ) . rw(x) = (rw(x))ⁿ . rw(x)

rw(xⁿ . x) = (rw(x))ⁿ⁺¹

rw(xⁿ⁺¹) = (rw(x))ⁿ⁺¹ .

Als de te bewijzen stelling voor een zekere n klopt, dan is deze dus ook juist voor n+1.

Hiermee is de stelling door middel van volledige inductie bewezen.

Nu volgt nog een gelijkaardige stelling. Voor alle verschilgetallen x en positieve natuurlijke getallen n geldt:

aw(xⁿ) = (aw(x))ⁿ .

Bewijs:

Laat x wederom een willekeurig verschilgetal zijn. Voor n=1 komt er:

aw(x¹) = aw(x) = (aw(x))¹ .

Voor n=1 gaat de te bewijzen stelling dus op.

Neem nu aan dat de stelling voor n juist is. Dan vinden we:

aw(xⁿ) = (aw(x))ⁿ

aw(xⁿ) . aw(x) = (aw(x))ⁿ . aw(x)

aw(xⁿ . x) = (aw(x))ⁿ⁺¹

aw(xⁿ⁺¹) = (aw(x))ⁿ⁺¹ .

Als de stelling voor n klopt, dan is deze dus ook correct voor n+1.

Hiermee is ook deze stelling bewezen.

[Bartjes]

Wat is nu: (a~b)ⁿ ?

Voor alle verschilgetallen a~b geldt:

\( (a \sim b)^n \, = \left (\frac{(a + b)^n \, + \, (a - b)^n}{2} \right ) \sim \left (\frac{(a + b)^n \, - \, (a - b)^n}{2} \right ) \)

.

Bewijs:

Laat:

c~d = (a~b)ⁿ .

Dan vinden we:

c - d = rw(c~d) = rw((a~b)ⁿ) = (rw(a~b))ⁿ = (a - b)ⁿ ,

c + d = aw(c~d) = aw((a~b)ⁿ) = (aw(a~b))ⁿ = (a + b)ⁿ .

Zodat:

\( 2.c = (a - b)^n \, + \, (a + b)^n \)

\( c = \frac{(a + b)^n \, + \, (a - b)^n}{2} \)

.

\( 2.d = (a + b)^n \, - \, (a - b)^n \)

\( d = \frac{(a + b)^n \, - \, (a - b)^n}{2} \)

.

\( (a \sim b)^n \, = c \sim d \)

\( (a \sim b)^n \, = \left (\frac{(a + b)^n \, + \, (a - b)^n}{2} \right ) \sim \left (\frac{(a + b)^n \, - \, (a - b)^n}{2} \right ) \)

.

[Bartjes]

We hebben al wel een pseudoquotiënt voor 0/0, maar nog geen quotiënt voor a/b met b ongelijk aan nul. Wat is hier het probleem? Laten we een eenvoudig geval bekijken:

(2~1) . (x~y) = 2~1 .

Bereken x~y .

(2~1) . (x~y) = 2~1

(2,1) . (x,y) = (2,1)

(2.x + 1.y , 2.y + 1.x) = (2,1) .

Een oplossing zou dus moeten voldoen aan:

2.x + 1.y = 2 ,

1.x + 2.y = 1 .

Dus:

2.x + 1.y = 2 ,

2.x + 4.y = 2 .

Waardoor:

-3.y = 0

y = 0 .

Maar verschilgetallen bestaan per definitie uit geordende tweetallen x~y = (x,y) van positieve reële getallen. Derhalve is er binnen de verschilgetallen geen oplossing x~y voor de bekeken vergelijking:

(2~1) . (x~y) = 2~1 .

Een "gewoon" quotiënt voor a/b met b ongelijk aan nul zit er voor de verschilgetallen niet in. We zullen hier opnieuw een kunstgreep moeten toepassen.

[Bartjes]

We bekijken de onderstaande vergelijking waarin c d en n een positief natuurlijk getal is:

(c~d) . (x~y) = (a~b) . 1ⁿ .

Hoe zou een eventuele oplossing x~y eruit kunnen zien?

Er zou moeten gelden:

\( (c \sim d) \, . \, (x \sim y) = (a \sim b) \, . \, \underline{1}^n \)

\( rw((c \sim d) \, . \, (x \sim y)) = rw((a \sim b) \, . \, \underline{1}^n) \)

\( rw(c \sim d) \, . \, rw(x \sim y) = rw(a \sim b) \, . \, rw(\underline{1}^n) \)

\( rw(c \sim d) \, . \, rw(x \sim y) = rw(a \sim b) \, . \, rw((2.1 \, , \, 1)^n) \)

\( rw(c \sim d) \, . \, rw(x \sim y) = rw(a \sim b) \, . \, rw((2,1)^n) \)

\( rw(c \sim d) \, . \, rw(x \sim y) = rw(a \sim b) \, . \, (rw((2,1))^n \)

\( (c - d) \, . \, (x - y) = (a - b) \, . \, (2 - 1)^n \)

\( (c - d) \, . \, (x - y) = (a - b) \, . \, 1^n \)

\( (c - d) \, . \, (x - y) = (a - b) \, . \, 1 \)

\( (c - d) \, . \, (x - y) = (a - b) \)

\( x - y = \frac{a - b}{c - d} \)

.

\( (c \sim d) \, . \, (x \sim y) = (a \sim b) \, . \, \underline{1}^n \)

\( aw((c \sim d) \, . \, (x \sim y)) = aw((a \sim b) \, . \, \underline{1}^n) \)

\( aw(c \sim d) \, . \, aw(x \sim y) = aw(a \sim b) \, . \, aw(\underline{1}^n) \)

\( aw(c \sim d) \, . \, aw(x \sim y) = aw(a \sim b) \, . \, aw((2.1 \, , \, 1)^n) \)

\( aw(c \sim d) \, . \, aw(x \sim y) = aw(a \sim b) \, . \, aw((2,1)^n) \)

\( aw(c \sim d) \, . \, aw(x \sim y) = aw(a \sim b) \, . \, (aw((2,1))^n \)

\( (c + d) \, . \, (x + y) = (a + b) \, . \, (2 + 1)^n \)

\( (c + d) \, . \, (x + y) = (a + b) \, . \,\, 3^n \)

\( x + y = \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \)

.

Zodat:

\( 2 . x = \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \,\, + \, \frac{a - b}{c - d} \)

\( x = \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \)

.

\( 2 . y = \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \,\, - \, \frac{a - b}{c - d} \)

\( y = \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \)

.

Alleen zulke eventuele oplossingen x~y zijn voor verschilgetallen toelaatbaar waarvoor x en y positief zijn. We zien dat dit laatste precies dan het geval is wanneer het positieve natuurlijke getal n aan onderstaande ongelijkheid voldoet:

\( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \, \, \left \vert \frac{a - b}{c - d} \right \vert \)

.

De bovenstaande verkenningen geven aanleiding tot definities die ik in volgend berichtje zal geven.

[Bartjes]

1. Voor twee verschilgetallen a~b en c~d met c d verstaan we onder de grenswaarde gw(a~b,c~d) het kleinste positieve natuurlijke getal n dat voldoet aan de ongelijkheid:

\( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \, \, \left \vert \frac{a - b}{c - d} \right \vert \)

.

Een hieraan volstrekt gelijkwaardige definitie met gebruikmaking van de begrippen reële waarde en de antireële waarde luidt aldus:

1'. Voor twee verschilgetallen p en q met rw(q) 0 verstaan we onder de grenswaarde gw(p,q) het kleinste positieve natuurlijke getal n dat voldoet aan de ongelijkheid:

\( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \, \, \left \vert \frac{rw(p)}{rw(q)} \right \vert \)

.

2. Voor twee verschilgetallen a~b en c~d met c d verstaan we voor positieve natuurlijke getallen n gw(a~b,c~d) onder het n-de orde pseudoquotiënt (a~b) //_n (c~d) het onderstaande verschilgetal:

\( (a \sim b) \,\, //_ n \,\, (c \sim d) = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right) \)

.

Of met de begrippen van de reële waarde en antireële waarde geformuleerd:

2'. Voor twee verschilgetallen p en q met rw(q) 0 verstaan we voor positieve natuurlijke getallen n gw(p,q) onder het n-de orde pseudoquotiënt p //_n q het onderstaande verschilgetal:

\( p \,\, //_n \,\, q = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right) \)

.

Omdat het oorspronkelijke pseudoquotiënt alleen werkt op verschilgetallen r~r en s~s mogen we het bovenstaande n-de orde pseudoquotiënt (dat voor verschilgetallen r~r en s~s juist niet is gedefinieerd) als een aanvulling op het oorspronkelijke pseudoquotiënt zien. Verder laten we het n-de orde pseudoquotiënt voor n < gw(a~b,c~d) ongedefinieerd.

3. Voor n = gw(a~b,c~d) en c d noemen we (a~b) //_n (c~d) het simpele pseudoquotiënt of kortweg 'het pseudoquotiënt', en laten dan ook vaak de index n weg. Dat wil zeggen:

\( (a \sim b) \, // \, (c \sim d) = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^{gw(a \sim b,c \sim d)} \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^{gw(a\sim b , c \sim d)} \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right) \)

.

Met de reële en antireële waarde geformuleerd:

3'. Voor n = gw(p,q) en rw(q) 0 noemen we p //_n q het simpele pseudoquotiënt of kortweg 'het pseudoquotiënt', en laten dan ook vaak de index n weg. Dat wil zeggen:

\( p \,\, // \,\, q = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^{gw(p,q)} \, + \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^{gw(p,q)} \, - \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right) \)

.

[Bartjes]

We laten nu nog even zien dat het n-de orde pseudoquotiënt inderdaad aan onze verwachtingen voldoet. In onze eerdere verkenningen zijn we nagegaan hoe een oplossing eruit zou moeten zien als deze bestaat, maar we hebben strikt genomen niet aangetoond dat deze bestaat.

Voor c d en het positieve natuurlijke getal n gw(a~b,c~d) geldt:

(c~d) . ((a~b) //_n (c~d)) = (a~b) . 1ⁿ .

Bewijs:

Laat c d en het positieve natuurlijke getal n gw(a~b,c~d).

Voor het gemak van de bewijsvoering schrijven we:

\( (e,f) \, = \, (c \sim d) \, . \, ((a \sim b) \,\, //_n \,\, (c \sim d)) \)

,

\( (g,h) \, = \, (a \sim b) \, . \, \underline{1}^n \)

.

Voor (e,f) vinden we:

\( e - f \, = \, rw((e,f)) \)

\( e - f \, = \, rw((c \sim d) \, . \, ((a \sim b) \,\, //_n \,\, (c \sim d))) \)

\( e \, - f \, = \,\, rw \left ( (c \sim d) \,\, . \,\, \left ( \left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \right ) \right ) \)

\( e \, - f \, = \, rw( c \sim d) \,\, . \,\, rw \left (\left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \, \sim \, \left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \right ) \)

\( e - f \, = \, (c - d) \,\, . \,\, \left ( \frac{1}{2} \, . \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \,\, - \,\, \frac{1}{2} \, . \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \)

\( e - f \, = \, (c - d) \,\, . \,\, \frac{1}{2} \, . \left ( \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \, - \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \)

\( e - f \, = \, (c - d) \,\, . \,\, \frac{1}{2} \, . \left ( \frac{a - b}{c - d} \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \)

\( e - f \, = \, (c - d) \,\, . \,\, \frac{a - b}{c - d} \)

\( e - f \, = \, a - b \)

.

\( e + f \, = \, aw((e,f)) \)

\( e + f \, = \, aw((c \sim d) \, . \, ((a \sim b) \,\, //_n \,\, (c \sim d))) \)

\( e \, + \, f \, = \,\, aw \left ( (c \sim d) \,\, . \,\, \left (\left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \right ) \right ) \)

\( e \, + \, f \, = \, aw(c \sim d) \,\, . \,\, aw \left (\left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \, \sim \, \left ( \frac{1}{2} \, . \left \{ \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right \} \right ) \right ) \)

\( e + f \, = \, (c + d) \,\, . \,\, \left ( \frac{1}{2} \, . \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \,\, + \,\, \frac{1}{2} \, . \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \)

\( e + f \, = \, (c + d) \,\, . \,\, \frac{1}{2} \, . \left ( \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \, + \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \)

\( e + f \, = \, (c + d) \,\, . \,\, \frac{1}{2} \, . \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \right ) \)

\( e + f \, = \, (c + d) \,\, . \,\, \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \)

\( e + f \, = \, (a + b) \,\, . \,\, 3^n \)

.

\( 2 . e \, = \, (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, + \, (a - b) \)

\( e \, = \, \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, + \, (a - b) ) \)

.

\( 2 . f \, = \, (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, - \, (a - b) \)

\( f \, = \, \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, - \, (a - b) ) \)

.

\( (e,f) \, = \, \left ( \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, + \, (a - b) ) \,\, , \,\, \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, - \, (a - b) ) \right ) \)

.

Voor (g,h) vinden we:

\( g - h \, = \, rw((g,h)) \)

\( g - h \, = \, rw((a \sim b) \, . \, \underline{1}^n ) \)

\( g - h \, = \, rw(a \sim b)\, . \, rw(\underline{1}^n ) \)

\( g - h \, = \, (a - b)\, . \, (rw(\underline{1}))^n \)

\( g - h \, = \, (a - b)\, . \, 1^n \)

\( g - h \, = \, (a - b)\, . \, 1 \)

\( g - h \, = \, (a - b) \)

.

\( g + h \, = \, aw((g,h)) \)

\( g + h \, = \, aw((a \sim b) \, . \, \underline{1}^n ) \)

\( g + h \, = \, aw((a \sim b) \, . \, (2.1 \, , \, 1)^n ) \)

\( g + h \, = \, aw((a \sim b) \, . \, (2,1)^n ) \)

\( g + h \, \, = \, aw(a \sim b)\, . \, aw((2,1)^n ) \)

\( g + h \, = \, (a + b)\, . \, (aw((2,1)))^n \)

\( g + h \, = \, (a + b)\, . \, 3^n \)

.

\( 2.g \, = \, (a + b)\, . \, 3^n \, + \, (a - b) \)

\( g \, = \, \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, + \, (a - b) ) \)

.

\( 2 .h \, = \, (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, - \, (a - b) \)

\( h \, = \, \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, - \, (a - b) ) \)

.

\( (g,h) \, = \, \left ( \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, + \, (a - b) ) \,\, , \,\, \frac{1}{2} \, . \, ( (a + b) \,\, . \,\, 3^n \, - \, (a - b) ) \right ) \)

.

Samenvattend:

\( (e,f) = (g,h) \)

\( (c \sim d) \, . \, ((a \sim b) \,\, //_n \,\, (c \sim d)) \, = \, (a \sim b) \, . \, \underline{1}^n \)

.

Dus geldt voor c d en positieve natuurlijke getallen n gw(a~b,c~d) inderdaad dat:

(c~d) . ((a~b) //_n (c~d)) = (a~b) . 1ⁿ .

[Bartjes]

We definiëren de verschil-faculteit

\( n \dag \)

voor positieve natuurlijke getallen n middels:

\( 1 \dag \, = \, \underline{1} \)

,

\( (n + 1) \dag \, = \, n \dag \, . \, \underline{(n + 1)} \)

.

Aanvullend definiëren we nog:

\( 0 \dag \, = \, \underline{1} \)

.

Nu geldt voor alle positieve natuurlijke getallen n dat:

\( n \dag = \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \right ) \, \sim \, \left( \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) \)

Bewijs:

Voor het gemak schrijven we:

\( f(n) = \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \right ) \, \sim \, \left( \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) \)

.

Dan hebben we te bewijzen dat voor alle positieve natuurlijke getallen n geldt dat:

\( n \dag = f(n) \)

.

Voor n=1 vinden we:

\( 1 \dag = \underline{1} \)

.

\( f(1) = \left ( \frac{ 3^1+1 }{2} \, . \, 1! \right ) \, \sim \, \left( \frac{ 3^1 - 1 }{2} \, . \, 1! \right ) \)

\( f(1) = \left ( \frac{ 3 +1 }{2} \, . \, 1 \right ) \, \sim \, \left( \frac{ 3 - 1 }{2} \, . \, 1 \right ) \)

\( f(1) = \left ( \frac{4}{2} \, . \, 1 \right ) \, \sim \, \left( \frac{2}{2} \, . \, 1 \right ) \)

\( f(1) = ( 2 . 1 ) \, \sim \, ( 1 . 1 ) \)

\( f(1) = ( 2 . 1 ) \, \sim \, (1) \)

\( f(1) = (2 . 1 \, , \, 1) \)

\( f(1) = \underline{1} \)

.

Dus:

\( 1 \dag = f(1) \)

. Waarmee

\( n \dag = f(n) \)

voor n=1 alvast bewezen is.

Veronderstel nu dat voor een positief natuurlijk getal n geldt dat

\( n \dag = f(n) \)

. Dan vinden we:

\( n \dag \, = \, f(n) \)

\( n \dag \,\, . \,\, \underline{(n + 1)} \, = \, f(n) \,\, . \,\, \underline{(n + 1)} \)

\( (n + 1) \dag \, = \, \left ( \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \right ) \, \sim \, \left( \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) \right ) \,\, . \,\, (2.(n + 1) \, , \, n + 1) \)

\( (n + 1) \dag \, = \, \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \,\,\, , \,\, \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) \,\, . \,\, (2.(n + 1) \, , \, n + 1) \)

Om het overzichtelijk te houden schrijven we:

\( A \, = \, \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \)

,

\( B \, = \, \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \)

,

\( C \, = \, 2.(n + 1) \)

,

\( D \, = \, n + 1 \)

.

Zodat:

\( (n + 1) \dag \, = \, ( A , B ) \, . \, (C , D) \)

\( (n + 1) \dag \, = \, ( A . C \, + \, B . D \,\, , \,\, A . D \, + \, B . C ) \)

\( (n + 1) \dag \, = \, ( A . C \, + \, B . D ) \,\, \sim \,\, ( A . D \, + \, B . C ) \)

.

\( A . C \, + \, B . D \,\, = \,\, \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \right ) . \,\, 2.(n + 1) \,\, + \,\, \left ( \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) . \, (n + 1) \)

\( A . C \, + \, B . D \,\, = \,\, \frac{2 \, . ( 3^n +1 )}{2} \, . \, (n + 1)! \right ) \,\, + \,\, \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \)

\( A . C \, + \, B . D \,\, = \,\, \frac{ ( 2 \, . \, 3^n + 2 ) \, + \, ( 3^n - 1 ) }{2} \, . \, (n + 1)! \)

\( A . C \, + \, B . D \,\, = \,\, \frac{ 3 \, . \, 3^n \, + \, 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \)

\( A . C \, + \, B . D \,\, = \,\, \frac{ 3^{n + 1} \, + \, 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \)

.

\( A . D \, + \, B . C \,\, = \,\, \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \right ) . \,\, (n + 1) \,\, + \,\, \left ( \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) . \, 2.(n + 1) \)

\( A . D \, + \, B . C \,\, = \,\, \frac{( 3^n +1 )}{2} \, . \, (n + 1)! \right ) \,\, + \,\, \frac{ 2 \, . ( 3^n - 1 )}{2} \, . \, (n + 1)! \)

\( A . D \, + \, B . C \,\, = \,\, \frac{ ( 3^n + 1 ) \, + \, ( 2 \, . \, 3^n - 2 ) }{2} \, . \, (n + 1)! \)

\( A . D \, + \, B . C \,\, = \,\, \frac{ 3 \, . \, 3^n \, - \, 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \)

\( A . D \, + \, B . C \,\, = \,\, \frac{ 3^{n + 1} \, - \, 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \)

.

Dus:

\( (n + 1) \dag \, = \, \left ( \frac{ 3^{n + 1} \, + \, 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \frac{ 3^{n + 1} \, - \, 1 }{2} \, . \, (n + 1)! \right ) \)

\( (n + 1) \dag \, = \, f(n + 1) \)

.

Waarmee het bewijs voltooid is.

[Bartjes]

Hoog tijd voor een overzicht van gegeven definities en bewezen stellingen:

Deel 1

We gaan uit van de algebraïsche structuur (R⁺,+, . ) van de positieve reële getallen met gebruikelijke optelling '+' en vermenigvuldiging '.' .

De verschilgetallen a~b met a en b positieve reële getallen definiëren we formeel als geordende tweetallen (a,b) waarvoor geldt:

(a,b) + (c,d) = (a+c , b+d)

(a,b) . (c,d) = (a.c + b.d , a.d + b.c)

De aftrekking '~' van verschilgetallen definiëren we als:

(a,b) ~ (c,d) = (a+d , b+c)

We hebben nu de algebraïsche structuur (V,+, . ), waarbij V de verzameling der verschilgetallen is, en + en . de optelling en vermenigvuldiging van deze getallen zoals eerder gedefinieerd. Het blijkt dat (V,+, . ) een commutatieve semiring is.

Een commutatieve semiring is een verzameling V van wiskundige objecten tezamen met twee binaire bewerkingen + en . die voldoen aan:

1. Additieve associativiteit: Voor alle a, b en c uit V geldt: (a+b)+c = a+(b+c) ,

2. Additieve commutativiteit: Voor alle a en b uit V geldt: a+b = b+a ,

3. Multiplicatieve associativiteit: Voor alle a, b en c uit V geldt: (a.b).c = a.(b.c) ,

4. Multiplicatieve commutativiteit: Voor alle a en b uit V geldt: a.b = b.a ,

5. Distributiviteit: Voor alle a, b en c uit V geldt: a.(b+c) = a.b + a.c .

We definiëren de reële waarde van het verschilgetal a~b als:

rw(a~b) = a - b .

Voor alle verschilgetallen x en y geldt dat:

rw(x + y) = rw(x) + rw(y)

rw(x ~ y) = rw(x) - rw(y)

rw(x . y) = rw(x) . rw(y)

Voor alle positieve reële getallen x definiëren we de verschilrepresentatie x als:

x = (2.x , x) .

Uiteraard geldt dan: rw(x) = x .

Voor x ~ x komt er dan:

x ~ x = (3.x , 3.x) .

De verschilrepresentatie 0 van 0 definiëren we als:

0 = (1,1) .

Zodat: rw(0) = 0 .

Voor 0 . x komt er dan:

0 . x = (3.x , 3.x) .

We definiëren het pseudoquotiënt (x~x)//(y~y) voor alle verschilgetallen x~x en y~y als:

(x~x)//(y~y) = (2.(x/y) , x/y) .

Nog wat rekenregels:

ONGELIJKHEIDSREGEL

Voor alle ongelijke positieve reële getallen a en b geldt:

0 . a 0 . b .

(De hierna volgende regels gelden voor alle positieve reële getallen a en b.)

NULREGEL:

0 . a = a ~ a .

EENREGEL:

1 . (a ~ a) = a . (1 ~ 1) .

SOMREGEL:

a + b = (a + b) .

VERSCHILREGEL:

a ~ b = a~b + a~b . 0 .

PRODUCTREGEL:

a . b = (2.a.b) ~ (a.b) .

VIER PSEUDOQUOTIËNTREGELS

EERSTE PSEUDOQUOTIËNTREGEL:

0//0 = 1 .

TWEEDE PSEUDOQUOTIËNTREGEL:

(a.0)//0 = 3.a .

DERDE PSEUDOQUOTIËNTREGEL:

0//(a.0) = (1/(3.a)) .

VIERDE PSEUDOQUOTIËNTREGEL:

(a.0)//(b.0) = (a/b) .

[Bartjes]

Deel 2

Voor alle verschilgetallen x = a~b definiëren we de antireële waarde aw(a~b) als:

aw(a~b) = a + b .

Voor alle verschilgetallen x en y geldt dat:

aw(x + y) = aw(x) + aw(y) ,

aw(x ~ y) = aw(x) + aw(y) ,

aw(x . y) = aw(x) . aw(y) .

Voor alle verschilgetallen x en positieve natuurlijke getallen n definiëren we de natuurlijke machten van x aldus:

x¹ = x ,

xⁿ⁺¹ = xⁿ . x .

Voor alle verschilgetallen x en positieve natuurlijke getallen n geldt dat:

rw(xⁿ) = (rw(x))ⁿ ,

aw(xⁿ) = (aw(x))ⁿ .

Voor alle verschilgetallen a~b geldt:

\( (a \sim b)^n \, = \left (\frac{(a + b)^n \, + \, (a - b)^n}{2} \right ) \sim \left (\frac{(a + b)^n \, - \, (a - b)^n}{2} \right ) \)

.

Nog wat definities:

1. Voor twee verschilgetallen a~b en c~d met c d verstaan we onder de grenswaarde gw(a~b,c~d) het kleinste positieve natuurlijke getal n dat voldoet aan de ongelijkheid:

\( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \, \, \left \vert \frac{a - b}{c - d} \right \vert \)

.

Een hieraan volstrekt gelijkwaardige definitie met gebruikmaking van de begrippen reële waarde en de antireële waarde luidt aldus:

1'. Voor twee verschilgetallen p en q met rw(q) 0 verstaan we onder de grenswaarde gw(p,q) het kleinste positieve natuurlijke getal n dat voldoet aan de ongelijkheid:

\( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^n \,\, > \, \, \left \vert \frac{rw(p)}{rw(q)} \right \vert \)

.

2. Voor twee verschilgetallen a~b en c~d met c d verstaan we voor positieve natuurlijke getallen n gw(a~b,c~d) onder het n-de orde pseudoquotiënt (a~b) //_n (c~d) het onderstaande verschilgetal:

\( (a \sim b) \,\, //_ n \,\, (c \sim d) = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right) \)

.

Of met de begrippen van de reële waarde en antireële waarde geformuleerd:

2'. Voor twee verschilgetallen p en q met rw(q) 0 verstaan we voor positieve natuurlijke getallen n gw(p,q) onder het n-de orde pseudoquotiënt p //_n q het onderstaande verschilgetal:

\( p \,\, //_n \,\, q = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^n \, + \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^n \, - \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right) \)

.

Omdat het oorspronkelijke pseudoquotiënt alleen werkt op verschilgetallen r~r en s~s mogen we het bovenstaande n-de orde pseudoquotiënt (dat voor verschilgetallen r~r en s~s juist niet is gedefinieerd) als een aanvulling op het oorspronkelijke pseudoquotiënt zien. Verder laten we het n-de orde pseudoquotiënt voor n < gw(a~b,c~d) ongedefinieerd.

3. Voor n = gw(a~b,c~d) en c d noemen we (a~b) //_n (c~d) het simpele pseudoquotiënt of kortweg 'het pseudoquotiënt', en laten dan ook vaak de index n weg. Dat wil zeggen:

\( (a \sim b) \, // \, (c \sim d) = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^{gw(a \sim b,c \sim d)} \, + \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{a + b}{c + d} \,\, . \,\, 3^{gw(a\sim b , c \sim d)} \, - \, \frac{a - b}{c - d} \right ) \right) \)

.

Met de reële en antireële waarde geformuleerd:

3'. Voor n = gw(p,q) en rw(q) 0 noemen we p //_n q het simpele pseudoquotiënt of kortweg 'het pseudoquotiënt', en laten dan ook vaak de index n weg. Dat wil zeggen:

\( p \,\, // \,\, q = \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^{gw(p,q)} \, + \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right ) \sim \left ( \frac{1}{2} \, . \, \left ( \frac{aw(p)}{aw(q)} \,\, . \,\, 3^{gw(p,q)} \, - \, \frac{rw(p)}{rw(q)} \right ) \right) \)

.

Voor c d en het positieve natuurlijke getal n gw(a~b,c~d) geldt:

(c~d) . ((a~b) //_n (c~d)) = (a~b) . 1ⁿ .

We definiëren de verschil-faculteit

\( n \dag \)

voor positieve natuurlijke getallen n middels:

\( 1 \dag \, = \, \underline{1} \)

,

\( (n + 1) \dag \, = \, n \dag \, . \, \underline{(n + 1)} \)

.

Aanvullend definiëren we nog:

\( 0 \dag \, = \, \underline{1} \)

.

Nu geldt voor alle positieve natuurlijke getallen n dat:

\( n \dag = \left ( \frac{ 3^n +1 }{2} \, . \, n! \right ) \, \sim \, \left( \frac{ 3^n - 1 }{2} \, . \, n! \right ) \)

.

[Bartjes]

Voor manieren om bovenstaande overzicht uit te printen, zie:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=140218

[Bartjes]

Het rekenkundig fundament is gelegd. Nu is het de vraag of er met de verschilgetallen ook een vorm van analyse mogelijk is. De meest aannemelijke weg daartoe lijkt mij via rijen en (machts)reeksen. Maar wellicht zien lezers nog andere mogelijkheden die eleganter zijn. Dat hoor ik dan graag.

Wanneer de x_i verschilgetallen zijn (en m een geheel getal), definiëren we:

\( \sum_{i=m}^{m} x_i = x_m \)

,

\( \sum_{i=m}^{n+1} x_i = \left ( \sum_{i=m}^n x_i \right ) \,\, + \,\, x_{n+1} \)

.

\( \prod_{i=m}^{m} x_i = x_m \)

,

\( \prod_{i=m}^{n+1} x_i = \left ( \prod_{i=m}^n x_i \right ) \,\, . \,\, x_{n+1} \)

.

Voor de oneindige rij verschilgetallen (a_m) ~ (b_m) , (a_m+1) ~ (b_m+1) , (a_m+2) ~ (b_m+2) , (a_m+3) ~ (b_m+3) , ... , (a_m+n) ~ (b_m+n) , ... definiëren we:

\( \lim_{i \rightarrow \infty} \left ( ( a_i ) \sim ( b_i ) \right ) \,\, = \,\, \left ( \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \lim_{i \rightarrow \infty} b_i \right ) \)

.

Waarbij de linker limiet wordt geacht te bestaan dan en slechts dan wanneer de beide rechter limieten bestaan.

[Bartjes]

Voor de oneindige rij verschilgetallen (a_m) ~ (b_m) , (a_m+1) ~ (b_m+1) , (a_m+2) ~ (b_m+2) , (a_m+3) ~ (b_m+3) , ... , (a_m+n) ~ (b_m+n) , ... definiëren we:

\( \lim_{i \rightarrow \infty} \left ( ( a_i ) \sim ( b_i ) \right ) \,\, = \,\, \left ( \lim_{i \rightarrow \infty} a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \lim_{i \rightarrow \infty} b_i \right ) \)

.

Waarbij de linker limiet wordt geacht te bestaan dan en slechts dan wanneer de beide rechter limieten bestaan.

Aangezien a~b alleen een verschilgetal is wanneer a en b beide positief zijn, dienen de rechter limieten niet enkel te bestaan maar óók nog positief te zijn.

Om allerhande reeksen van verschilgetallen inderdaad als sommen te kunnen schrijven moeten we de aftrekking '~' in een optelling omzetten. Dat gaat voor verschilgetallen a~b en c~d aldus:

(a~b) ~ (c~d) = (a+d)~(b+c)

(a~b) ~ (c~d) = (a~b) + (d~c) .

Hetgeen aanleiding geeft voor verschilgetallen x~y hun omgedraaide om(x~y) te definiëren:

om(x~y) = y~x .

Zo geldt dan:

(a~b) ~ (c~d) = (a~b) + om(c~d) .

Verder schrijven we voor verschilgetallen z_i net als in de gewone analyse (met m een geheel getal):

\( \sum_{i=m}^{\infty} z_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \sum_{i=m}^n z_i \right ) \)

.

\( \prod_{i=m}^{\infty} z_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \prod_{i=m}^n z_i \right ) \)

.

Waarbij de linker uitdrukkingen als handige afkortingen voor de exact gedefinieerde rechter uitdrukkingen gebruikt worden. Let ook hier op de aan het begin van dit berichtje gemaakte opmerking.

[Bartjes]

Nog even om de puntjes op de i te zetten:

Voor verschilgetallen z_i met m een geheel getal noemen we de onderstaande oneindige reeksen en oneindige producten:

\( \sum_{i=m}^{\infty} z_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \sum_{i=m}^n z_i \right ) \)

.

\( \prod_{i=m}^{\infty} z_i = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \, \prod_{i=m}^n z_i \right ) \)

.

precies dan convergent wanneer de rechter limiet bestaat én een verschilgetal (d.w.z een geordend tweetal van positieve reële getallen) oplevert. In alle andere gevallen noemen we deze reeksen en producten divergent. Alleen aan convergente oneindige reeksen en aan convergente oneindige producten kennen we het gevonden verschilgetal als uitkomst toe. Aan divergente oneindige reeksen en aan divergente oneindige producten kennen we echter géén verschilgetal als uitkomst toe.

[Bartjes]

Wanneer de (a_i)~(b_i) verschilgetallen zijn en m een geheel getal geldt:

\( \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \)

.

Bewijs:

Laat de (a_i)~(b_i) verschilgetallen zijn en m een geheel getal. Voor het gemak schrijven we dan:

\( A(n) = \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \)

.

Voor de verschilgetallen (a_i)~(b_i) en gehele getallen m moeten we dan bewijzen dat:

\( \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(n) \)

.

In het geval n=m vinden we:

\( \sum_{i=m}^{m} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, ( a_m ) \sim ( b_m ) \)

.

\( A(m) = \left ( \sum_{i=m}^m a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^m b_i \right ) \)

\( A(m) = (a_m ) \, \sim \, ( b_m ) \)

.

\( \sum_{i=m}^{m} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(m) \)

.

Dus voor n=m gaat de te bewijzen stelling alvast op.

Vervolgens veronderstellen we dat de te bewijzen stelling voor een n opgaat. Waaruit volgt:

\( \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(n) \)

\( \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \)

\( \left ( \, \sum_{i=m}^{n} \, ((a_i) \sim (b_i)) \right ) \,\, + \, ((a_{n+1}) \sim (b_{n+1})) = \, \left ( \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \right ) \,\, + \,\, ((a_{n+1}) \sim (b_{n+1})) \)

\( \sum_{i=m}^{n+1} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \left ( \sum_{i=m}^n a_i \right ) \, + \, a_{n+1} \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \left ( \sum_{i=m}^n b_i \right ) \, + \, b_{n+1} \right ) \)

\( \sum_{i=m}^{n+1} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, \left ( \sum_{i=m}^{n+1} a_i \right ) \,\, \sim \,\, \left ( \sum_{i=m}^{n+1} b_i \right ) \)

\( \sum_{i=m}^{n+1} \, ((a_i) \sim (b_i)) \, = \, A(n+1) \)

.

Waarmee ons bewijs door volledige inductie geslaagd is.