Wetenschapsforum

N.a.v. deze topic die ik net doorlas, vroeg ik mij af in hoeverre we eigenlijk kunnen integreren...

Een paar sommetjes die me zomaar te binnen schieten:

• 
• 
• 
• 

Goed, een viertal oefeningen dus. Het gaat me voor het belangrijkste deel om de manier van aanpakken, de uitwerkingen dus.

Het antwoord kan iedereen opzoeken, dat is geen punt.

Ik ben benieuwd...

'Gevorderd' is relatief natuurlijk...

In het kort schets ik hoe ik het zou aanpakken, zonder het te uitgebreid uit de doeken te doen.

1:

sinx*sin²x = sinx*(1-cos²x)

subst: stel cosx = y <=> -sinxdx = dy

2:

subst: stel 1+[wortel]x = y²

3:

subst: stel x = siny <=> dx = cosydy

4:

sin²x*cos²x*cosx = sin²x(1-sin²x)*cosx

subst: stel y = sinx

Op deze manier heb je uiteraard al enig nuttig denkwerk verricht, maar jij weet net als ik dat je er dan nog niet echt bent...

Uitwerkingen zijn hetgeen ik verlang!

Uiteraard is 'gevorderd' relatief, maar ik noem dit geen middelbare school stof meer, dus redelijk gevorderd.

En daarom ook maar hier en niet in Huiswerk.

Niet mee eens. Deze sommen zijn eenvoudig na de hints van TD. Niveau is 1e jaar wiskunde aan de universiteit. Opgave 3 zou ik trouwens gedaan hebben met een repeterende integraal voortvloeiend uit partiele integratie. Handig is het om te weten dat: int(1/sqrt(a^2-x^2))dx = arcsin(x/a)+ C

Forest.

1e jaar univ? Hier was dat toch echt middelbare stof, in de wiskundige richtingen dan.

Je wou echter uitwerkingen en ik verveelde me, mijn (laatavond) poging:

1)



2)



3)



4)



Uiteraard onder voorbehoud van typ- en post-midnight foutjes

Ik kwam hier even toevallig op, ik zit in zesde middelbaar 6u wiskunde en had ze alle 4 opgelost in nog geen 3min...

heb je er nog? met een paar tips erbij kunnen minder gevorderen zich verbeteren.

heb je er nog? met een paar tips erbij kunnen minder gevorderen zich verbeteren.

Zal idd binnenkort weer een paar op dit niveau posten. Lijkt me goed plan voor een breed publiek ja.

Alleen jammer dat de plaatjes van TD! van een paar posts naar boven niet meer getoond worden...

Dat domein verliep enkele dagen terug en ik was blijkbaar vergeten dat te verlengen. Als alles goed loopt is dat binnen enkele dagen opgelost.

Integralen zijn welkom! voor de ongeduldigen: primitieve van (tan³x + tanx)/(3tanx+1)

Integralen zijn welkom!  voor de ongeduldigen: primitieve van (tan³x + tanx)/(3tanx+1)  

tg(x)/3 - log(|3.tg(x)+1|)/9 - log(3)/9

en voor de superongeduldigen: een primitieve van (a.tgⁿ(x) + b.tg(x))/(c.tg(x)+d)

Misschien wat methodiek erbij, de handige truk zit erin de teller te ontbinden zodat je via een goniometrische identiteit precies de afgeleide van tan(x) krijgt waardoor een handige substitutie mogelijk is.

Het zal vast ook nog op andere manieren kunnen, uiteraard.

(tan³x+tanx)/(3tanx+1) dx

= tanx(tan²x+1)/(3tanx+1) dx

= tanx*sec²x/(3tanx+1) dx

-> t = tan(x) dt = sec²xdx

= t/(3t+1) dt

= t/3 - ln(3t+1)/9 + C

= tan(x)/3 - ln(3tan(x)+1)/9 + C

Inderdaad, maar ik zag hem toch niet direct staan

Dat met die tan^n heb ik precies nog niet gezien, hoe los je zoiets op?

Ramses schreef:Inderdaad, maar ik zag hem toch niet direct staan

Dat met die tan^n heb ik precies nog niet gezien, hoe los je zoiets op?

(tgⁿ(x) + tg(x))/(3.tg(x)+1)dx

Alleen een schets (het is strafwerk om het helemaal te doen).

Ik schrijf voor het gemak z = tg(x).

Deel eerst zⁿ + z door 3.z+1.

Dat kan bijvoorbeeld door zⁿ + z te ontwikkelen in een (eindige) machtreeks in -1/3.

Dan tgⁿ(x)dx bepalen (onderscheidt n even en oneven).

Dan is alleen nog nodig 1/(3.tg(x)+1)dx.

Beste

Wie kan me helpen ik zit echt vast in het oplossen van integralen en zou dit toch eigenlijk moeten kunnen kent er iemand een goed boek waarin methodes uit de doeken gedaan worden om de kneepjes echt goed te leren. Probleem is vooral dat ik nooit geen integralen gezien heb in het secundair en dat ze nu plots enorm belangrijk zijn. IK heb mij daarop wel voorbereid maar ik ben nooit verder geraakt met functies die je kan oplossen met een breuksplitsing partieel (echter beperkt) en substitutie hier bij ook weer heel beperkt enkel functie die je substitueert dan afleid en dan iets kan laten wegvallen.

Welk boek is geschikt ?

(type integralen : bogen, polynomen in noemer zonder nulpunten goniometrische integralen logaritmische ed...)

Groeten. Dank bij voorbaat.