limiet berekenen
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: limiet berekenen
er zit een klein foutje in mijn laatste bericht
s(2)=a1-a2+a3-a4+a5
dit moet zijn:
a5=a1-a2+a3-a4+a5
s(2)=a1-a2+a3-a4+a5
dit moet zijn:
a5=a1-a2+a3-a4+a5
- Berichten: 211
Re: limiet berekenen
Beste aadkr
Met een 'eenvoudig' trukje is de precieze som ook te bepalen. Ik kom uit op
Bart
Met een 'eenvoudig' trukje is de precieze som ook te bepalen. Ik kom uit op
\(2-5\ln2=1,465736\)
vriendelijke groetenBart
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: limiet berekenen
Beste Bart
Zou je mij dit trukje ook willen leren.
Alvast hartelijk dank.
Zou je mij dit trukje ook willen leren.
Alvast hartelijk dank.
- Berichten: 211
Re: limiet berekenen
Zeker!
Het idee is de algemene term te splitsen in een verschil van 2 breuken door wat men noemt 'splitsen in partieelbreuken'. Zo krijgen we een zogenaamde 'telescopische som', d.w.z. een som waarvan alle termen wegvallen of te vereenvoudigen zijn.
Meer bepaald:
Zo komen we tot de gevraagde reekssom.
groetjes
Bart
Het idee is de algemene term te splitsen in een verschil van 2 breuken door wat men noemt 'splitsen in partieelbreuken'. Zo krijgen we een zogenaamde 'telescopische som', d.w.z. een som waarvan alle termen wegvallen of te vereenvoudigen zijn.
Meer bepaald:
\(\frac{k+3}{k(k+1)}=\frac{A}{k}-\frac{B}{k+1}\)
Waarin we A en B kunnen bepalen door de noemers weg te werken:
\( k+3=A(k+1)-Bk\)
en dan coëfficiënten gelijkstellen, ofwel respectievelijk k=0 en k=-1 in te vullen. Zo krijgen we A=3 en B=2. Dus:
\(\frac{k+3}{k(k+1)}=\frac{3}{k}-\frac{2}{k+1}\)
Zo vinden we
\(s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots\)
\(=-\left(\frac{3}{1}-\frac{2}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{3}{3}-\frac{2}{4}\right)+\cdots\)
\(=-3+\frac{5}{2}-\frac{5}{3}+\frac{5}{4}-\cdots\)
\(=2-5\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\right)\)
Nu is de reeks tussen haakjes een bekende reeks met als reekssom ln 2, wat je kan zien door x=1 in te vullen in de MacLaurinreeks voor ln(x+1). (zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Taylorreeks )Zo komen we tot de gevraagde reekssom.
groetjes
Bart
- Berichten: 211
Re: limiet berekenen
Dag Aad
met de 'alternating series test' (zie je bericht van 24 aug)
groetjes
Bart
met de 'alternating series test' (zie je bericht van 24 aug)
groetjes
Bart
- Berichten: 2.403
Re: limiet berekenen
Lukt het zo wel?
$$\frac{3^{k+1}}{3^k}=???$$
$$\frac{k!}{(k+1)!}=???$$
$$\frac{3^{k+1}}{3^k}=???$$
$$\frac{k!}{(k+1)!}=???$$
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: limiet berekenen
ik begrijp wat je bedoeld, die limiet met die absolute waarde strepen daar komt uit 3/k dit naderd tot nul . dus de limiet is kleiner 1 , dus absoluut convergent.
maar je moet toch ook de limiet voor k naderd tot +oneindig van 3 tot de macht k gedaald door k faculteit moet toch ook berekend worden???
maar je moet toch ook de limiet voor k naderd tot +oneindig van 3 tot de macht k gedaald door k faculteit moet toch ook berekend worden???