limiet berekenen
- Berichten: 2.382
Re: limiet berekenen
De volgende term is de vorige term vermenigvuldigd met 3/k. Als k dan groter is dan 3, dan is het niet moeilijk om aan te tonen dat de opeenvolgende termen dalend zijn. En dat is voldoende voor convergentie volgens Leibniz.
- Berichten: 209
Re: limiet berekenen
Je kan voor de tweede reeks alternatief ook -3 invullen in de Taylor-reeks voor e^x. Dan weet je ook meteen de reekssom.
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: limiet berekenen
wnvl1 ik snap van Uw bericht hrlrmaal niets
Convergentie volgens Leibniz heb ik nooit gehad
Bart23 waarom moet ik nu werken met de reeksontwikkeling van e tot de macht x??
Convergentie volgens Leibniz heb ik nooit gehad
Bart23 waarom moet ik nu werken met de reeksontwikkeling van e tot de macht x??
- Berichten: 2.382
Re: limiet berekenen
Leibniz is wat jij de alternating series test noemt (boven de kader).
Ik geef jou aan in mijn post hoe je kan bewijzen dat \(a_{k+1}\) kleiner is dan \(a_{k}\).
Ik geef jou aan in mijn post hoe je kan bewijzen dat \(a_{k+1}\) kleiner is dan \(a_{k}\).
- Berichten: 209
Re: limiet berekenen
\(\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{3^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{3^k}{k!}}\right|=\frac{3}{k+1}\)
wat kleiner is dan 1 als k minstens 3 is. De termen dalen dus in absolute waarde.
\(\frac{3^k}{k!}=\frac{3}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdots\frac{3}{k}\)
\(<\frac{3}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{3}{4}=\frac{9}{2}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{k-3}=\frac{32}{3}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^k\)
Het laatste is de algemene term van een convergente meetkundige rij die naar nul gaat, want |reden|<1.De andere uitleg met e^x is gewoon een andere, snellere manier die ook nog eens de reekssom e^(-3) geeft.
- Berichten: 2.382
Re: limiet berekenen
Bewijs eerst dat de limiet convergeert (dalend en naar beneden begrensd door 0), daarna kan je als volgt bewijzen dat hij naar nul convergeert.
$$\lim_{k \to \infty} \frac{10^k}{k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{10^{k+1}}{(k+1)!} = \lim_{k \to \infty} \frac {10}{k+1} \frac{10^k}{k!} = \left(\lim_{k \to \infty} \frac {10}{k+1} \right) \left( \lim_{k \to \infty} \frac {10^k}{k!} \right) = 0.$$
$$\lim_{k \to \infty} \frac{10^k}{k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{10^{k+1}}{(k+1)!} = \lim_{k \to \infty} \frac {10}{k+1} \frac{10^k}{k!} = \left(\lim_{k \to \infty} \frac {10}{k+1} \right) \left( \lim_{k \to \infty} \frac {10^k}{k!} \right) = 0.$$
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: limiet berekenen
wnvl1 en bart23 hartelijk dank voor uw hulp.
met vriendelijke groet aad
met vriendelijke groet aad
- Berichten: 2.382
Re: limiet berekenen
In oefening 10 dalen de termen in absolute waarde en de termen gaan in de limiet naar 0.
Het Leibniz criterium zegt dan dat de reeks convergeert.
Het Leibniz criterium zegt dan dat de reeks convergeert.
- Berichten: 209
Re: limiet berekenen
Oefening 11 vraagt om f(x) te evalueren in -2/3, met
Nu is
\(f(x)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^k\)
Beschouw
\(g(x)=\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k\)
waarbij de bovenstaande machtreeks convergeert voor |x|<1 (dus zeker voor x=-2/3)Nu is
\(g'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=0}^\infty k\cdot x^{k-1}\)
Dus
\(f(x)=x\cdot g'(x)=\frac{x}{(1-x)^2}\)
Bijgevolg
\(f(-\frac23)=-\frac{6}{25}\)
- Berichten: 209
Re: limiet berekenen
Dag aad, vraag gerust welke stap(pen) niet duidelijk is/zijn.
Voor een oplossing die meer volgens het boekje is (maar geen precieze waarde voor de som geeft), kan je ook hier Leibniz toepassen.
1) de reeks is alternerend
2) de termen dalen in absolute waarde (vanaf de derde term):
Voor een oplossing die meer volgens het boekje is (maar geen precieze waarde voor de som geeft), kan je ook hier Leibniz toepassen.
1) de reeks is alternerend
2) de termen dalen in absolute waarde (vanaf de derde term):
\(\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\frac{(k+1)2^{k+1}}{3^{k+1}}}{\frac{k2^k}{3^k}}=\frac{3k}{2(k+1)}\)
met
\(\frac{3k}{2(k+1)}<1\Leftrightarrow2(k+1)<3k\Leftrightarrow k>2\)
3) de limiet van de absolute waarde van de termen gaat naar nul. Met de regel van de l'Hospital vinden we snel:
\(\lim_{n\to+\infty}\frac{k2^k}{3^k}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x2^x}{3^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{(\frac{3}{2})^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{(\frac{3}{2})^x\cdot\ln\frac{3}{2}}=\frac{1}{+\infty}=0\)
- Pluimdrager
- Berichten: 6.598
Re: limiet berekenen
dit snap ik, hartelijk dank. maar is de limiet dan te berekenen?