[wiskunde] convexe kegels

Physics

Gegeven is:

$$K$ \subset\ $\mathbb{R}^n$$

heet kegel als

$$\forall_{\mathbf{x}\in\mathbf{K}}\forall_{\alpha\geq0}\ \alpha\mathbf{x}\in\mathbf{K}$.$

We moeten bewijzen dat voor elke kegel

$$K$$

geldt:

$$K$$

is convex

$\Leftrightarrow \forall_{\mathbf{x,y}\in\mathbf{K}}\forall_{\alpha,\beta\geq0}\ \alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}\in \mathbf{K}$$

.

Kan iemand uitleggen hoe ik dit moet bewijzen?

Bvdz

Ik weet niet hoe ver je zelf gekomen bent, maar dit is een beginnetje:

"==>"

Stel:

K is convex.

Dan geldt:

$\forall x, y \in K, \forall t \in [0, 1]:tx + (1 - t)y \in K$

Verder:

K is een kegel, dus:

$\forall x \in K, \forall \alpha\geq0, \alpha x\in K$

En nu moet je die twee stellingen gerbuiken om aan te tonen dat:

$\forall x, y \in K, \forall \alpha, \beta \geq0, \alpha x + \beta x \in K$

"<=="

Stel:

$\forall x, y \in K, \forall \alpha, \beta \geq0, \alpha x + \beta x \in K$

Ook geldt K is een kegel, dus:

$\forall x \in K, \forall \alpha\geq0, \alpha x\in K$

Gebruik dit om te bewijzen dat geldt:

$\forall x, y \in K, \forall t \in [0, 1]:tx + (1 - t)y \in K$

Laat het maar weten als je meer hulp nodig hebt.

Physics

Ja, dit was ongeveer tot hoever ik zelf al was gekomen. Ik kwam er vooral in de afronding niet uit! Dat vond ik het moeilijkste gedeelte. Volgen er nog veel stappen? Of is het best eenvoudig?

Bvdz

Dat is redelijk persoonlijk

, maar zoals ik het heb gedaan is het redelijk eenvoudig.

"==>"

Tip 1: vervang de x en y in de vergelijking voor convexiteit door ... en ... (laat zien dat dit klopt met de andere vergelijking (redelijk triviaal))

(bedenk zelf wat je op de puntjes moet invullen)

Tip 2: stel t= 0.5 (bijv.)

"<=="

Moet niet al te moeilijk zijn als je eenmaal "==>" hebt opgelost.

Physics

Ik zie zo snel niet welke kant je precies op wil. Het lijkt me namelijk niet dat je x moet vervangen door a en y door b, maar een andere logische keuze is er eigenlijk niet. Ik zou eerder zeggen a vervangen moet worden door t en b vervangen moet worden door (1-t). Maar waar moet ik x dan door vervangen. Sorry dat ik dit allemaal vraag, maar ik liep met dit vraagstukje echt even helemaal vast.

Bvdz

Geen probleem,

Je moet x inderdaad niet vervangen door a, en ook met t vervangen door a kom je er niet.

Maar

$\forall x \in K, \forall \alpha\geq0, \alpha x\in K$

geeft je een geschikte kandidaat die aan de voorwaarde voldoet, waar x aan moet voldoen voor de andere vergeling) (

$\in K$

)

Physics

Ik doe nog een poging: moet je x vervangen door ax en y door by?

Bvdz

Laat maar zien wat je krijgt als je dat doet.

Physics

Volgens mij krijg je dan:

$\forall x, y \in K, \forall \alpha, \beta \geq0, t\alpha x + (1-t)\beta y \in K$

Bvdz

Het resultaat klopt wat er voor staat niet, zo moet het wel:

$\forall \alpha x, \beta y \in K, \forall t \in [0, 1]:t \alpha x + (1 - t) \beta y \in K$

(Je x en y, door ax en by, doe dat dus consequent in de hele formule. tot nu toe doe je nog niks met t)

En kijk nu naar tip 2, in mijn 2e reacte (het 4e bericht)

Physics

Concreet invullen levert volgens mij niets op. Ik denk dat je nu mag stellen:

$\forall x, y \in K, \forall \alpha, \beta \geq0, \alpha x + \beta y \in K$

Maar welke denkstap zit daar tussen?

Bvdz

Concreet invullen levert wel degelijk iets op, probeer het maar eens.

Want je kunt van

$\forall \alpha x, \beta y \in K, \forall t \in [0, 1]:t \alpha x + (1 - t) \beta y \in K$

$x, y \in K; \alpha, \beta \geq0$

niet rechtstreeks naar

$\forall x, y \in K, \forall \alpha, \beta \geq0, \alpha x + \beta y \in K$

Physics

Oké, dan krijg je dit, als je concreet 0.5 invult:

$\forall \alpha x, \beta y \in K:0.5 \alpha x + 0.5 \beta y \in K$

Bvdz

Inderdaad, nu hoef je slechts ax en bx een beetje aan te passen en je bent klaar.

Physics

Misschien een domme vraag, maar je kunt toch niet zomaar 0,5 invullen? Het moet toch voor elke waarde van t gelden? Hoe pas je ax en bx dan aan, zodat je het eindantwoord krijgt?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] convexe kegels

[wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels

Re: [wiskunde] convexe kegels