Mag ik zeggen dat
Lijnintegraal; gesloten pad
- Berichten: 6.905
Lijnintegraal; gesloten pad
Als geldt dat
Mag ik zeggen dat
\(\nabla \times A\)
nul is dan is \(\oint A \mbox{d}r\)
.Mag ik zeggen dat
\(\nabla \times A\)
nul is als het vectorveld onafhankelijk is van de x,y,z coördinaat maar wel afhankelijk is van het gevolgde pad?Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 3.330
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Als
\(\nabla \times A=0\)
dan is \(A=\nabla\Phi\)
. Dus A is de gradient van een scalaire functie en zeker niet onafhankelijk x,y,z. A is ook conservatief en de lijnintegraal langs een gesloten pad is 0.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 6.905
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Wat versta jij onder een scalaire functie?
(Wat wordt dan, met jouw uitleg, het antwoord op mijn vraag?)
(Wat wordt dan, met jouw uitleg, het antwoord op mijn vraag?)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 3.330
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Een scalaire functie is een functie die een bepaalde waarde heeft in een punt van de ruimte (tenminste waar ze gedefinieerd is) een vectoriële functie heeft in een bepaald punt naast een waarde ook een richting en zin.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Algemener gezegd: een scalaire functie is een functie waarvan het bereik 1-dimensionaal is. Bijvoorbeeld:
\(f: \rr^3 \rightarrow \rr\)
\(f(x,y,z) = 2 \cdot x + y^2\)
- Berichten: 6.905
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Dus; aangezien A een gradiënt is van een scalaire functie (lijkt mij ook te kloppen aangezien waar, ik het nodig heb, A een vectorfunctie is met vectoren (zelfde grote) loodrecht op het gevolgde pad) is
Klopt dit?
\(\nabla \times A\)
=0 en is de lijnintegraal langs het gesloten pad ook nul.Klopt dit?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.068
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Er geldt voor een scalair veld V (zowel V als de afgeleiden van V moeten bestaan):
\(\nabla \times (\nabla V) = 0\)
Als je dus kan bewijzen dat \(A = \nabla V\) dan geldt dus:\(\nabla \times A = \nabla \times (\nabla V) = 0\)
Stokes's theorema zegt:\(\int_S (\nabla \times A) \cdot ds = \oint_C A \cdot dl\)
Dit kun je combineren met het bovenstaande tot:\(\int_S (\nabla \times A) \cdot ds = \int_S 0 \cdot ds = 0\)
dus:\(\oint_C A \cdot dl = 0\)
- Berichten: 3.330
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
\(\oint\vec{K}d\vec{r}=\oint\nabla\Psi\mbox{d}\vec{r}=\oint\mbox{d}\Psi=0\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Kun je uitleggen wat je hiermee wilt zeggen?\(\oint\vec{K}d\vec{r}=\oint\nabla\Psi\mbox{d}\vec{r}=\oint\mbox{d}\Psi=0\)
- Berichten: 3.330
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
De gradient van een scalaire functie vermenigvuldigt met
\(\mbox{d}\vec{r}\)
is de differentiaal van die functie. De integraal van een differentiaal is die functie zellf + een constante. Door het feit dat we integreren over een gesloten pad vinden we 0 daar het beginpunt en eindpunt van de integratie hetzelfde is.\(\vec{K}=\nabla\Psi\)
omdat \(\vec{K}\)
conservatief is.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 6.905
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Bedankt EvilBro (en kotje natuurlijk)
Ik zal eens kijken wat ik hiervoor kan produceren.Als je dus kan bewijzen dat \(A = \nabla V\) dan geldt dus:
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.068
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Het is zo dat \(\nabla \times A = 0\) impliceert dat er een \(V\) bestaat zodat \(A = \nabla V\) als A gedefinieerd is op een enkelvoudig samenhangende ruimte (simpel gezegd een ruimte zonder gaten).Ik zal eens kijken wat ik hiervoor kan produceren.
Wat is je beschrijving van A trouwens?
- Berichten: 6.905
Re: Lijnintegraal; gesloten pad
Daar knelt juist het schoentje; A bestaat uit vectoren met eenzelfde grote loodrecht op het gevolgde pad. Verder<is A dus niet gedefinieerd.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.