[wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

[wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Hey,

ik zit een beetje vast bij volgende opgave:

Zij
\( x \in \mathbb{R}^{+}_{0}\)
. Bewijs dat
\(\sqrt{x} \rightarrow 1\)
(ik vind de code voor n-de machtswortel niet :P ). Doe dit door enkel te steunen op de epsilon delta definitie van een limiet.

Ik zou nu graag zeggen wat ik al heb, maar dat is eig nix... Ik ken de def van limiet wel, en kan die opschrijven, maar daar stopt het :-(

EDIT: dju, vakgebied vergeten :D (edit dju, gerepareerd... :P jvdv)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Drieske schreef:ik zit een beetje vast bij volgende opgave:

Zij
\( x \in \mathbb{R}^{+}_{0}\)
. Bewijs dat
\(\sqrt{x} \rightarrow 1\)
(ik vind de code voor n-de machtswortel niet :D ). Doe dit door enkel te steunen op de epsilon delta definitie van een limiet.
Er staat een pijl, waarvoor dient deze?
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Ja, daarmee bedoel ik dat de limiet van de rij voor n naar oneindig 1 is... Beetje lui van mij idd :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

(ik vind de code voor n-de machtswortel niet :D )
\(\sqrt[n]{x}\)
(klik voor de code)
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Laat 's toch zien wat je tot nu toe hebt...
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Wel, als je moet aantonen dat de limiet 1 is, kies je
\(\epsilon > 0\)
willekeurig. NU moeten we een
\(n_0\)
zoeken zodat
\( \forall n \geq n_0: |\sqrt [n]{x} - 1| < \epsilon\)
.

Nu moet je vermoed ik een afschatting naar boven doen van je absolute waardes, maar ik zie totaal niet hoe ... :D

Maw, ik heb nix; ik had al gedacht dat je van die nde wortel af wilt, maar hoe weet ik dan ook weer niet...

EDIT: ik weet totaal niet of dit gaat werken, maar miss kan je zeggen:
\(| \sqrt [n]{x} - 1| = | \sqrt [n]{x} - \sqrt [n]{1}| = |\sqrt [n]{x} (1-\sqrt [n]{\frac{1}{x}})| \)
en nu miss tot de macht n doen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Hint: merk op dat
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x}=1\)
gelijkwaardig is met
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log x=0\)
en kijk eens of je daarmee verder komt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Ja, sorry, mijn fout, maar ik had moeten opmerken dat ik op dit ogenblik in de cursus nog nix ken van logaritmische functies ofzo. Ik ken enkel de ordening op
\(\mathbb{R}\)
, absolute waardes en de epsilon-delta definitie voor een limiet van een rij aan te tonen. :D Niet veel dus :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 400

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Ken je wel exponentiële functies? Dan kan het ook zonder logaritme.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Neen, ik ken echt nog nix buiten ordening, absolute waardes ed. We bouwen de analyse echt van 0 terug op... :D (nuja, echt)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Noem:
\(w_n=\sqrt[n]{x}-1\)
met x>1.

Pas het binomium toe.

Berichten: 400

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Via bovenstaande zie ik niet meteen een oplossing; wss ben ik weer dom.

Ik zou intuïtief eerder denken aan een stappenplan dat wel moet te formaliseren vallen denk ik.

Zoiets voor x>1 als

1) Toon aan dat de rij dalend is.

2) Toon aan dat alle waarden in de rij >1.

3) Toon aan dat de limiet bestaat en >=1 is.

4) Toon aan dat de limiet =1.

Steeds per contradictie aantonen.

Of is zoiets onmogelijk formeel te doen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Safe schreef:Noem:
\(w_n=\sqrt[n]{x}-1\)
met x>1.

Pas het binomium toe.
Er volgt:
\(w_n>0\)
Verder:
\(1+nw_n<(1+w_n)^n=x\)
Is deze ongelijkheid je bekend (eigenlijk moet je dat onmiddellijk 'zien')?

Los hieruit w_n op en neem de limiet voor n naar oneindig.

Wat volgt dan voor de gevraagde limiet?

Neem daarna x=1, dat is triviaal en verder 0<x<1, neem dan de reciproke.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Hey, sorry voor het late antwoord, heb het ondertussen idd kunnen aantonen op ongeveer dezelfde manier als Safe juist heeft "uitgewerkt" :D Fel bedankt voor de hulp :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] n-de machtswortel x naar 1

Dat is mooi!

En nu kee nog.

Reageer