Impulsmoment in kwantummechanica

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 15

Impulsmoment in kwantummechanica

Hallo allemaal,

ik heb een vraag over het impulsmoment (Angular momentum) in de quantummechanica.

Sommigen van jullie weten misschien wel dat de sferisch harmonischen eigenfuncties zijn

van de operatoren L^2 en Lz. Als ik nu deze operatoren een translatie geef in de x,y,z-ruimte

zijn de sferisch harmonischen dan nog steeds eigenfuncties van deze operatoren?

Alvast bedankt :D (zo ja/zo nee waarom wel/niet?)

Met vriendelijke groetjes,

Wyke

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Impulsmoment in kwantummechanica

Met 'de operatoren een translatie geven' bedoel je waarschijnlijk iets als
\(\exp(i\vec{T}\cdot\vec{P})L^2\exp(-i\vec{T}\cdot\vec{P})\)
?

Aangezien translatie en rotatie niet commuteren kan men onmiddelijk inzien dat de nieuwe eigenvectoren
\(\exp(i\vec{T}\cdot\vec{P})\psi_L\)
geen eigenvectoren vormen van
\(L^2\)
. Wanneer je naar de sferische harmonieken kijkt zal dit geen verrassing zijn: de nieuwe eigenfuncties zijn immers de sferische harmonieken gedefinieerd rond een ander ruimtepunt. Deze kunnen onmogelijk een sferische harmoniek zijn rond de oorspronkelijke oorsprong.

Berichten: 15

Re: Impulsmoment in kwantummechanica

Eigenlijk bedoel ik met translatie

(x-x0, y-y0, z-z0) X (Px, Py, Pz)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Impulsmoment in kwantummechanica

Dat is (op een herdefinitie
\(\vec{T}\rightarrow-\left(x_0,y_0,z_0\right)\)
na) hetzelfde. Dat hoort natuurlijk zo te zijn, en je kan het gemakkelijk narekenen, gebruik makend van de commutatieregel
\([L_i,P_j]=i\epsilon_{ijk}P_k\)

Berichten: 15

Re: Impulsmoment in kwantummechanica

Ik zie nog niet helemaal waarom rotatie en translatie niet commuteren..

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Impulsmoment in kwantummechanica

Eigenlijk moest ik niet echt spreken over rotatie. Wanneer je de commutatieregel tussen L en P kent, is het duidelijker om te zeggen: 'aangezien L^2 en exp(iTP) niet commuteren, ...'

In verband met translaties die niet roteren met rotaties. Neem een blad papier. Teken een x-as en een y-as. Verschuif een algemeen punt over een algemene vector, en roteer daarna over een algemene hoek rond de oorsprong. Doe het daarna andersom. Je bent klaar. Je kan zeer eenvoudig uitrekenen wat de commutator is (immers de transformatieformules zijn zeer eenvoudig in het 2D geval).

Berichten: 15

Re: Impulsmoment in kwantummechanica

Oke , heel erg bedankt :D

Reageer