[wiskunde] beeldverzameling

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 23-02-'09, 17:29

HosteDenis

Gebruikersavatar
Berichten: 689

[wiskunde] beeldverzameling

Mijn boek staat vol met functies als
\(f(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2+1}\)
.

Het domein van gelijk welke van die functies bepalen, daar heb ik geen probleem mee, in dit geval
\(D_f = \rr ^2 \; \; \mbox{ want } x^2 + y^2 + 1 > 0 \)
.

Maar ik heb moeite bij het bepalen van sommige bereiken
\(R_f\)
. In dit geval bijvoorbeeld, vind ik het bereik ook niet. (algebraïsch)

Verder moeten we ook de niveaulijnvgl opstellen. Dat is bij de meeste niet zo moeilijk, maar bij deze hier loop ik vast. Natuurlijk is
\(k = \frac{x}{x^2+y^2+1}\)
een niveaulijn voor elke
\(k \in R_f\)
, maar ze vragen me aan te tonen dat deze gelijk zijn aan cirkels, en dat zie ik niet.

Als iemand me kan helpen dus, met een algemene manier te zeggen om de bereiken algebraïsch te bepalen, en als iemand me kan helpen deze specifieke niveauvgl om te zetten naar een cirkelvgl, dan bedankt!

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."
Omhoog

Bericht 23-02-'09, 18:08

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: [wiskunde] beeldverzameling

Herschrijf
\(k=\frac{x}{x^2+y^2+1}\)
eens als k(x²+y²+1) = x en kijk eens of je dit tot de vergelijking van een cirkel kunt herleiden.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 23-02-'09, 18:15

Akarai

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: [wiskunde] beeldverzameling

alvast de niveaulijn:
\( k = \frac{x}{x^2+y^2+1} \)
\( k(x^2+y^2+1) - x = 0 \)
\( (kx^2-x) + ky^2 = -k\)
Alles delen door k:
\( (x^2-\frac{x}{k}) + y^2 = -1 \)
Je wil uit het eerste deel een merkwaardig product bekomen, dus voeg je 1/(4k²) toe aan beide leden
\( (x^2 -\frac{x}{k} + \frac{1}{4k^2}) + y^2 = \frac{1}{4k^2} - 1 \)
\( (x- \frac{1}{2k})^2 + y^2 = \frac{1}{4k^2} - 1 \)
Dit zijn cirkels

EDIT: mathfreak was me voor
Omhoog

Bericht 23-02-'09, 18:32

Akarai

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: [wiskunde] beeldverzameling

Voor het bereik kun je de extremen van de functie
\( \frac{x}{x^2+1} \)
bepalen in dit geval, aangezien de y-waarde er niet echt toe doet.

dan vul je de gevonden x-waarden in deze functie in en krijg je je bereik.
Omhoog

Bericht 23-02-'09, 18:54

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] beeldverzameling

Akarai schreef:alvast de niveaulijn:
\( k = \frac{x}{x^2+y^2+1} \)
\( k(x^2+y^2+1) - x = 0 \)
\( (kx^2-x) + ky^2 = -k\)
Alles delen door k:
\( (x^2-\frac{x}{k}) + y^2 = -1 \)
Je wil uit het eerste deel een merkwaardig product bekomen, dus voeg je 1/(4k²) toe aan beide leden
\( (x^2 -\frac{x}{k} + \frac{1}{4k^2}) + y^2 = \frac{1}{4k^2} - 1 \)
\( (x- \frac{1}{2k})^2 + y^2 = \frac{1}{4k^2} - 1 \)
Dit zijn cirkels

EDIT: mathfreak was me voor
\( (x- \frac{1}{2k})^2 + y^2 = \frac{1}{4k^2} - 1 \)
Dit zijn niet altijd cirkels. Bovendien onderzoek je k=0 niet.

@Akarai: We zijn niet gewend iets 'voor te kauwen'.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”