[wiskunde] bewijzen formule van euler

Jeffreih

Hallo, voor m'n wiskunde PO houd ik het over de formule van Euler:

$e^(^i^x^) = cos(x)+i*sin(x)$

Ik heb 3 bewijzen voor mijn deel gekozen, maar bij de derde loop ik gedeeltelijk vast:

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_for...ntial_equations

Being a 2nd-order differential equation, there are two linearly independent solutions that satisfy it:

$Afbeelding$

$Afbeelding$

Both cos and sin are real functions in which the 2nd derivative is identical to the negative of that function. Any linear combination of solutions to a homogeneous differential equation is also a solution. Then, in general, the solution to the differential equation is

$Afbeelding$

$Afbeelding$

Dat er geldt dat de tweede afgeleide van cos(x) = -cos(x) en sin(x) = -sin(x) snap ik wel, maar hoe komen ze op oplossingen in de vorm van:

$g(x) = A\small{g}\small{1}(x) + B\small{g}\small{2}(x)$

?

dirkwb

g1 is een oplossing, g2 is een oplossing en een lineaire combinatie van oplossingen is ook een oplossing.

TD

Dat is een eigenschap van differentiaalvergelijkingen van deze vorm:

Any linear combination of solutions to a homogeneous differential equation is also a solution.

Jeffreih

Bedankt voor de reacties, maar wat houdt het precies? (in simpelere termen)

We hebben enkel gewerkt met deze differentiaalvergelijkingen en -oplossingen:

Afbeelding

Ik zal zelf ook even zoeken naar een niet al te moeilijke uitleg

dirkwb

Daar staat dat de cosinus een oplossing is evenals de sinus nu blijkt (en dat kun je bewijzen) en dat als je deze optelt dat dat dan ook een oplossing is, snap je?

Jeffreih

Ja dat snap ik, maar nu zit ik met de volgende problemen:

1) Hoe kom ik op de oplossingen als ik niet gelijk aan de sinus/cosinus zou denken; hoe zou je ze dus via berekening kunnen vinden?

2) Waar kan ik 'makkelijkere' uitleg vinden over hoe ze bij deze oplossing komen: $Afbeelding$ $Afbeelding$

Heb zelf al gezocht, maar dan kom ik voornamelijk op sites waar ze het uitleggen met voor mij te moeilijke wiskundige termen..

dirkwb

Jeffreih schreef:Ja dat snap ik, maar nu zit ik met de volgende problemen:

1) Hoe kom ik op de oplossingen als ik niet gelijk aan de sinus/cosinus zou denken; hoe zou je ze dus via berekening kunnen vinden?

Bij differentiaalvergelijkingen is er geen pad die je direct naar een antwoord brengt meestal is het een kwestie van zoeken.

2) Waar kan ik 'makkelijkere' uitleg vinden over hoe ze bij deze oplossing komen: $Afbeelding$ $Afbeelding$

Heb zelf al gezocht, maar dan kom ik voornamelijk op sites waar ze het uitleggen met voor mij te moeilijke wiskundige termen..

Dat probeerde TD en ik dus uit te leggen en hierboven zei je al dat je dit snapte

Jeffreih

Woeps, ik bedoelde dat ik snap dat cosinus en sinus oplossingen zijn. Ook begrijp ik nu beter hoe je die A en B uit kunt rekenen.

"..in general, the solution to the differential equation.."; Daar zou ik dan juist meer informatie over willen, waarom die regel geldt.

dirkwb

: 2.PNG (85.86 KiB) 904 keer bekeken

Jeffreih

Aah, als ik het goed snap is dat dus hetzelfde als die formulering van Wikipedia:

$g(x) = A\small{g1}(x) + B\small{g2}(x)$

$y = c1y1 + c2y2$

Waarin y1 = cos(x) en y2 = sin(x)

Nu heb je dus:

g(x) = c1*cos(x) + c2*sin(x)

Nemen we x=0 dan:

g(0) = c1*cos(0) + c2*sin(0) = c1*1 + c2*0

g(0) = c1

De originele functie was g(x) = e^(ix)

g(0) geeft e^(i*0) = 1

Dus c1 = 1

Nu de afgeleide van g(x):

g'(x) = i*e^(ix)

Tevens geldt:

g'(x) = -c1*sin(x) + c2*cos(x)

Vullen we weer f(0) in:

1: g'(0) = i*e^(i*0) = i

2: g'(0) = -c1*sin(0) + c2*cos(x) = 0 + c2*1 = c2

Dus: c2 = i

Weer invullen in de oplossing:

g(x) = 1*cos(x) + i*sin(x)

g(x) = e^(ix)

-> e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Zo klopt het toch?

TD

Zo bepaal je inderdaad die A en B en daaruit volgt de gewenste formule.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] bewijzen formule van euler

[wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler

Re: [wiskunde] bewijzen formule van euler