[wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 03-03-'09, 18:09

Wolken

Berichten: 20

[wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Goede avond iedereen, ik kwam deze opgave tegen op internet en probeerde hem op te lossen, maar ik ben na een dag nog steeds niet verder gekomen.

de opgave is:

"Het punt P ligt binnen de gelijkzijdige driehoek ABC zo dat PA = 3, PB = 4 en PC = 5.

Bereken hoek APB."

dan nog even ter informatie, ik wil erg graag deze som zelf oplossen, maar ik weet gewoon niet hoe ik moet beginnen. Dus gelieve niet de oplossing te geven, maar slechts een hint hoe ik het moet aanpakken :D

alvast bedankt!
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 18:38

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Welkom op het forum Huiswerk en Practica.

Jij wilt vlot hulp. Dat is alleen goed mogelijk als je daar zelf wat voor doet.

Naast de algemene regels van dit forum hebben we voor dit huiswerkforum een paar speciale regels en tips.

Die vind je in de huiswerkbijsluiter

In die huiswerkbijsluiter staat bijvoorbeeld:
Quote[td] [color="#808080"][b][u]VAKGEBIED-TAGS[/u][/b] [i]Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel. bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.[/i] [/color] [/td]
Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zelf aan?[/color]
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 18:59

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Merk om te beginnen op dat de zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC groter dan 5 moet zijn. Omdat PA = 3, PB = 4 en PC = 5 stelt P een punt voor op de cirkel met straal AP = 3, en is P tevens een punt op de cirkel met straal BP = 4, en is P tevens een punt op de cirkel met straal CP= 5.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 19:11

Wolken

Berichten: 20

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

TD, sorry daarvoor, in alle haast had ik voor mijn post het regelement niet geheel zuiver gelezen. Naar mijn idee is het me nu allemaal duidelijk, dus het zal neit weer gebeuren ;)

Mathreak, Dat heb ik inderdaad opgemerkt, net als dat de zijde nooit groter dan 7 kan zijn, aangezien AP + AB = 7.

het probleem is voornamelijk dat ik geen idee heb hoe ik de zijde wél moet berekenen, in plaats van uit te sluiten wat het niet moet zijn.

Toch bedankt voor de reactie :D
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 19:39

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

zonder dat ik weet of het uitkomt: pas de cosinusregel in elk van de 3 kleine driehoekjes toe. met wat nevenvoorwaarden lijkt het me mogelijk om uit dit stelsel de hoek te vinden.
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 20:04

Wolken

Berichten: 20

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

zonder dat ik weet of het uitkomt: pas de cosinusregel in elk van de 3 kleine driehoekjes toe. met wat nevenvoorwaarden lijkt het me mogelijk om uit dit stelsel de hoek te vinden.
die zou zeer bruikbaar zijn, als ik de lengte van de zijdes van de grote driehoek wist. (tenminste als ik begrijp wat jij bedoelt)

bij de cosinusregel heb je namelijk een hoek en 2 zijdes, of alle 3 de zijdes nodig. ik heb wel 2 zijdes die bekend zijn, maar geen enkele hoek van die kleinere driehoeken.
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 20:13

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

onbekenden: 1 zijde, 2 hoeken => 3 onbekenden (want som drie hoeken is 2Pi)

vergelijkingen: 3x cosinusregel.

uitgenomen in lineair afhankelijke vergelijkingen, levert dit unieke oplossingen voor die zijde en die 2 hoeken.
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 20:38

Wolken

Berichten: 20

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

ik volg niet helemaal welke hoek dan wel bekend is, dus zou je dit kunnen aangeven met onderstaande figuur? bijvoorbeeld als je kijkt naar driehoek ABP ken ik geen enkele van die hoeken.

[attachment=3262:wiskunde...driehoek.jpg]
Bijlagen
wiskunde_P_in_driehoek.jpg
wiskunde_P_in_driehoek.jpg (22.09 KiB) 610 keer bekeken
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 20:48

Akarai

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Als je gewoon in gedachten houdt dat hoek APB + hoek APC + hoek BPC samen 360 graden zijn en dat de zijden AC, AB en BC dezelfde lengte hebben, dan is het toch oplosbaar met de cosinusregel?
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 20:58

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

kzal het dan maar eens oplossen.
\(\alpha=\hat{APC}\)
\(\beta=\hat{APB}=gezocht\)
\(\gamma=\hat{BPC}=2\pi-\alpha-\beta\)
\(z^2=3^2+5^2-2.3.5cos(\alpha)\)
\(z^2=3^2+4^2-2.3.4cos(\beta)\)
\(z^2=4^2+5^2-2.4.5cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
\(z^2=34-30cos(\alpha)\)
\(z^2=25-24cos(\beta)\)
\(z^2=41-40cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
dan nog wat goniometrie, daarmee moet het wel lukken

kzal het dan maar eens oplossen.
\(\alpha=\hat{APC}\)
\(\beta=\hat{APB}=gezocht\)
\(\gamma=\hat{BPC}=2\pi-\alpha-\beta\)
\(z^2=3^2+5^2-2.3.5cos(\alpha)\)
\(z^2=3^2+4^2-2.3.4cos(\beta)\)
\(z^2=4^2+5^2-2.4.5cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
\(z^2=34-30cos(\alpha)\)
\(z^2=25-24cos(\beta)\)
\(z^2=41-40cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
dan nog wat goniometrie, daarmee moet het wel lukken

kzal het dan maar eens oplossen.
\(\alpha=\hat{APC}\)
\(\beta=\hat{APB}=gezocht\)
\(\gamma=\hat{BPC}=2\pi-\alpha-\beta\)
\(z^2=3^2+5^2-2.3.5cos(\alpha)\)
\(z^2=3^2+4^2-2.3.4cos(\beta)\)
\(z^2=4^2+5^2-2.4.5cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
\(z^2=34-30cos(\alpha)\)
\(z^2=25-24cos(\beta)\)
\(z^2=41-40cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
dan nog wat goniometrie, daarmee moet het wel lukken

kzal het dan maar eens oplossen.
\(\alpha=\hat{APC}\)
\(\beta=\hat{APB}=gezocht\)
\(\gamma=\hat{BPC}=2\pi-\alpha-\beta\)
\(z^2=3^2+5^2-2.3.5cos(\alpha)\)
\(z^2=3^2+4^2-2.3.4cos(\beta)\)
\(z^2=4^2+5^2-2.4.5cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
\(z^2=34-30cos(\alpha)\)
\(z^2=25-24cos(\beta)\)
\(z^2=41-40cos(2\pi-\alpha-\beta)\)
dan nog wat goniometrie, daarmee moet het wel lukken
Omhoog

Bericht 03-03-'09, 22:27

Wolken

Berichten: 20

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Zeer bedankt voor de hulp, maar ik heb vanalles geprobeerd, maar dat laatste beetje goniometrie krijg ik maar niet voor elkaar. ook ik kwam op die drie vergelijkingen met X² maar krijg geen waardes uit de onbekenden... ik denk dat mijn gebrekkige middelbare school kennis/inzicht hier niet genoeg is, of ik zie iets ongelofelijk over het hoofd.
Omhoog

Bericht 04-03-'09, 17:27

Wolken

Berichten: 20

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Nog maals bedankt voor de hulp, maar ik ben eruit dankzij het ongelofelijke wiskundige brein van een vriend van me :D

om het kort te zeggen: hij heeft de loodlijnen van P op de zijdes uitgedrukt in de lengte van de zijdes, wat vervolgens leidde tot de oplossing.

dit topic is dus afgerond en kan gesloten worden ;)
Omhoog

Bericht 04-03-'09, 20:01

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Topics worden enkel gesloten wanneer ze tegen de regels ingaan. Er is immers steeds de mogelijkheid dat er in de toekomst nog iemand iets interessants aan toevoegt.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 05-03-'09, 17:11

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] punt p in een gelijkzijdige driehoek

Wolken schreef:ik volg niet helemaal welke hoek dan wel bekend is, dus zou je dit kunnen aangeven met onderstaande figuur? bijvoorbeeld als je kijkt naar driehoek ABP ken ik geen enkele van die hoeken.

[attachment=3262:wiskunde...driehoek.jpg]
Stel de zijde van de gelijkz drh a.

Je kan met de drh AEP en BEP laten zien dat AE=a/2-7/(2a) en BP=a/2+7/(2a)

Evenzo is dan in drh ADP: AD=a/2-16/(2a).

Nu kan je via drh AEP en ADP vinden: 1/2(AE/3)+1/2√3(EP/3)=AD/3

Dit geeft na enig rekenwerk: a²=25+√432

En met (bv) de cos-regel in drh ABP:cos(<APB)=-1/2√3 => <APB=150°.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”