Toepassing Cauchy-Schwartz

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Toepassing Cauchy-Schwartz

hebben tijdens de les volgende ongelijkheid gebruikt

|a+b|^2 >= 2*|a|²+2*|b|²

Dit zou een volgen uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, maar ik zou bij god niet weten hoe ik hier zou moetn aan komen. Iemand een idee

Gebruikersavatar
Berichten: 222

Re: Toepassing Cauchy-Schwartz

Ik heb toevallig een soortgelijke som gehad, waarbij a en b complexe getallen zijn. Dan werkt het als volgt:

eerst bewijs je: 2|ab| <= |a|²+|b|²

|ab|=|a||b|

(|a|²-|b|²)² >= 0

|a|²+|b|² - 2|a||b|>=0

2 |a||b| <=|a|²+|b|²

dan bewijs voor |a+b|²<=2|a|²+2|b|² (het <= staat bij mij wel andersom)

|a+b|² = |a|²+|b|² +2|ab| <= 2|a|²+2|b|²

(hierbij gebruik je 2|ab| <= |a|²+|b|² die je net afgeleid hebt)

De stap die hier op Cauchy-Schwarz lijkt is |ab|=|a||b|, dit is namelijk voor inproducten: |<u|v>| <=||u||*||v||. Als je ab als een inproduct ziet (namelijk a*conj(b), dan is nl |ab|=sqrt(ab*ba)=sqrt(a*conj(b)*b*conj(a)) ) dan geldt natuurlijk ook |ab|<=||a||*||b|| en dus |ab| <=|a||b|, omdat in de 1 dim complexe ruimte ||.|| gelijk aan |.| is.
"If you're scared to die, you'd better not be scared to live"

Reageer