Tweede orde differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 8.614

Tweede orde differentiaalvergelijking

Vandaag bespraken we in de les fysica de harmonische trilling. Daarbij kwam volgende tweede orde differentiaalvergelijking ter sprake:
\(m \cdot \frac{\mbox{d}^2s}{\mbox{d}t^2} + k \cdot s = 0\)
Hierin staat m voor massa, s voor elongatie, t voor tijd en k voor veerconstante. Onze leraar beweerde dat hij die vergelijking niet kon oplossen en beloofde ons om tien keer te pompen indien één van ons vandaag nog een oplossing zou vinden. Hij verkeerde hierbij in de veronderstelling dat wij, die nog maar pas bezig zijn met integraalrekening, nooit een dergelijke differentiaalvergelijking zouden kunnen oplossen.

Daar heeft hij uiteraard gelijk in, maar wat hij over het hoofd heeft gezien is dat zijn leerlingen over een krachtig medium beschikken, nl. het internet.

Ik zou dan ook willen vragen of iemand van jullie in staat is om deze differentiaalvergelijking op te lossen naar s.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Verwacht de leerkracht een uitwerking, of maak je al indruk met de algemene oplossing? Die is:
\(s\left( t \right) = c_1 \cos \left( {\omega t} \right) + c_2 \sin \left( {\omega t} \right)\)
Hierin is \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \) en de c's zijn constanten die afhangen van de beginvoorwaarden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8.614

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Met de algemene oplossing ben ik al zeker tevreden, maar ik vrees dat hij zal vragen hoe ik eraan kom. Mocht dat niet te veel werk zijn, zou je dan even de uitwerking kunnen plaatsen?

Je bent in ieder geval reeds enorm bedankt namens mijn hele klas.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Ik kan natuurlijk wel een uitwerking plaatsen, maar het lijkt me sterk dat je leerkracht niet zou doorhebben dat jullie dat niet zelf "uitgevonden" hebben als jullie die methode nog niet gezien hebben... Wie weet, het kan toch leuk zijn.

Deze tweede orde differentiaalvergelijking heeft constante coëfficiënten en is bovendien homogeen. De algemene oplossing is dan van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 e^{at} + c_2 e^{bt} \)
Hierin zijn a en b de oplossingen van de karakteristieke vergelijking. Die bekom je door substitutie van ext in de differentiaalvergelijking. Dit leidt tot de volgende kwadratische vergelijking in x:

mx² + k = 0

Omdat m en k positief zijn, levert dit de complexe oplossingen x = ;) i sqrt(k/m). Maar in de reële wereld werken we liever niet met complexe getallen, dus schrijven we dit om naar sinus en cosinus. Met behulp van de complexe definities van sin en cos kan je tonen dat een oplossing van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 e^{iat} + c_2 e^{-iat} \)
van deze differentiaalvergelijking, equivalent is met een oplossing van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 \cos(at) + c_2 \sin(at)\)
Meestal doet men dat een keer algemeen en wordt er bij complexe wortels van de karakteristieke vergelijking direct naar deze oplossingsvorm gegaan. In ons geval was a = ω = sqrt(k/m).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Ongelofelijk! Kan je een filmpje maken?

In mijn tijd op de middelbare school stond er iets in de vorm van "de vorm van de differentiaalvergelijking suggereert dat de functie, op één constante een tweede afgeleide heeft gelijk aan de functie"
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 43

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

namens mijn hele klas.
Maken jullie gezamenlijk huiswerk ;) o.i.d.

In ieder geval, voor de volledigheid, c1 = s(0) en c2 = s'(0) * wortel van m/k
Nee hoor, zoals je in de beginpost kunt lezen ging het hier om een weddenschap met een leraar.
Ik heb alleen TD's gelezen dus uhm excuses.

Berichten: 8.614

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Ik kan natuurlijk wel een uitwerking plaatsen, maar het lijkt me sterk dat je leerkracht niet zou doorhebben dat jullie dat niet zelf "uitgevonden" hebben als jullie die methode nog niet gezien hebben... Wie weet, het kan toch leuk zijn.
Uiteraard weet mijn leerkracht dat ik de uitwerking niet zelf gevonden kan hebben, maar dat deert niet. Het is een kwestie van het spel meespelen wanneer hij om een uitwerking vraagt.
TD schreef:Deze tweede orde differentiaalvergelijking heeft constante coëfficiënten en is bovendien homogeen. De algemene oplossing is dan van de vorm
\( s\left( t \right) = c_1 e^{at} + c_2 e^{bt} \)
Maken jullie gezamenlijk huiswerk ;) o.i.d.
Nee hoor, zoals je in de beginpost kunt lezen ging het hier om een weddenschap met een leraar.
In ieder geval, voor de volledigheid, c1 = s(0) en c2 = s'(0) * wortel van m/k
Bedankt.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Ik ben benieuwd... Pompen... ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 43

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

En als hij vraagt om het nog in de vorm van 1 enkele trilling te schrijven:
\(s(t) = b\sqrt{\frac{m}{k}+\frac{c_1^2}{c_2^2}}\sin{\left (\sqrt{\frac{k}{m}}t+\arctan{\left (\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{c_1}{c_2} \right )}\right )}\)
(als hij het kent zeer onwaarschijnlijk dus ;) , maarja)

Voor de afleiding: kies y = c * sin(sqrt[k/m]t + fase) en dan nog wat rotzooien

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Is het niet de bedoeling dat dit functie van t blijft...? Wellicht bedoel je gewoon t in plaats van omega?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 43

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Aangepast en ik was vergeten dat u/jullie boven omega als constante hadden gedefinieerd.

Berichten: 8.614

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Lunae schreef:
\(s(t) = b\sqrt{\frac{m}{k}+\frac{c_1^2}{c_2^2}}\sin{\left (\sqrt{\frac{k}{m}}t+\arctan{\left (\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{c_1}{c_2} \right )}\right )}\)
(als hij het kent zeer onwaarschijnlijk dus ;) , maarja)
Nog een vraagje: waar komt die b vandaan?
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Berichten: 43

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Sorry ik had eerst alles in a/b en nu dus c1/c2.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

Uitgaande van de formule voor de elongatie kun je zelf afleiden dat de d.v. inderdaad het gedrag van een harmonische trilling beschrijft.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 1

Re: Tweede orde differentiaalvergelijking

TD schreef:Met behulp van de complexe definities van sin en cos kan je tonen dat een oplossing van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 e^{iat} + c_2 e^{-iat} \)
van deze differentiaalvergelijking, equivalent is met een oplossing van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 \cos(at) + c_2 \sin(at)\)
Hoe doe je dat precies? Ik weet dat:
\(c_1e^{iat}=c_1\cos(at)+c_1i\sin(at)\)
en
\(c_2e^{-iat}=c_2\cos(at)-c_2i\sin(at)\)
Maar als je die optelt, heb je toch nog steeds een complex getal?

Reageer