Ik kan natuurlijk wel een uitwerking plaatsen, maar het lijkt me sterk dat je leerkracht niet zou doorhebben dat jullie dat niet zelf "uitgevonden" hebben als jullie die methode nog niet gezien hebben... Wie weet, het kan toch leuk zijn.
Deze tweede orde differentiaalvergelijking heeft constante coëfficiënten en is bovendien homogeen. De algemene oplossing is dan van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 e^{at} + c_2 e^{bt} \)
Hierin zijn a en b de oplossingen van de karakteristieke vergelijking. Die bekom je door substitutie van e
xt in de differentiaalvergelijking. Dit leidt tot de volgende kwadratische vergelijking in x:
mx² + k = 0
Omdat m en k positief zijn, levert dit de complexe oplossingen x =
i sqrt(k/m). Maar in de reële wereld werken we liever niet met complexe getallen, dus schrijven we dit om naar sinus en cosinus. Met behulp van de complexe definities van sin en cos kan je tonen dat een oplossing van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 e^{iat} + c_2 e^{-iat} \)
van deze differentiaalvergelijking, equivalent is met een oplossing van de vorm
\(s\left( t \right) = c_1 \cos(at) + c_2 \sin(at)\)
Meestal doet men dat een keer algemeen en wordt er bij complexe wortels van de karakteristieke vergelijking direct naar deze oplossingsvorm gegaan. In ons geval was a = ω = sqrt(k/m).