In het begin zijn dergelijke berekeningen inderdaad niet zo gemakkelijk, eens je er wat vertrouwd mee bent gaat het vrij vlot. Je kan het als volgt doen (met Einsteins sommatieconventie, dat spreekt, en het maakt niet uit of we indices bovenaan of onderaan schrijven, de metriek is
\(\delta_{ij}\)
).
Men ziet onmiddellijk dat
\(\alpha_i\Sigma_j=\Sigma_i\alpha_j=\left(\begin{array}{cc}0 & \sigma_i\sigma_j\\\sigma_i\sigma_j & 0\end{array}\right)\)
,
dus
\(\left[\alpha_i,\Sigma_j\right]=\left(\begin{array}{cc}0 & \left[\sigma_i,\sigma_j\right]\\\left[\sigma_i,\sigma_j\right] & 0\end{array}\right)=2i\epsilon_{ijk}\alpha_k\)
Dus is
\([P_i\alpha_i,\Sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}P_i\alpha_k=2i\left(\alpha\times P\right)_j\)
Er is trouwens 1 relatie die je ergens boven je bed mag hangen ofzo (ik werk tegenwoordig met een schrift waarin dingen komen die ik niet uit het oog mag verliezen, hij staat er in).
\(\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}e+i\epsilon_{ijk}\sigma_k\)
, met e de eenheidsmatrix
De commutatorbetrekking volgt daar onmiddellijk uit, en ook de betrekking voor het spoor van dergelijk product is nuttig.