[wiskunde] bewijs afgeleide exponentiële functie

Nico135

Hallo,

Aangezien wij op school bezig zijn met afgeleiden, wilde ik weten wat de afgeleide is van een exponentiële functie. Ik kwam hier achter: F(x)=a^x F'(x)=a^x * Ln(a)

Nou vroeg ik me af waarom dat zou was, dus ging ik zoeken. Op wikipedia kwam ik het bewijs ervoor tegen:

$Afbeelding$

Bron:http://nl.wikibooks.org/wiki/Analyse/Differentiatie#Bewijs_3

Dit begrijp ik helemaal tot de laatste stap. Waarom kan je zeggen dat (a^Δx-1)/Δx gelijk is aan ln(a)

Alvast bedankt!

mathfreak

Voor a = e geldt:

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$

. Omdat a^x=e^{xln a} geldt:

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\ln a\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta xln a}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\ln a\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}=\lim_{\Delta xln a\rightarrow 0}\ln a\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}=\ln a\lim_{\Delta xln a\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}=\ln a\cdot 1=\ln a$

, dus a^x heeft a^xln a als afgeleide. Door uit te gaan van a^x=e^{xln a} en de kettingregel toe te passen vind je meteen dat a^xln a de afgeleide is van a^x, waarmee je op grond van de definitie van de afgeleide rechtstreeks kunt concluderen dat

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\ln a$

.

Phys

Even wat meer ingaan op het laatste stuk van mathfreak:

Op de middelbare school worden de functies a^x, exp(x) en log(x) niet erg precies gedefinieerd, waardoor bewijzen over deze functies vaak neigen naar cirkelredeneringen.

In een rigoreuze opbouw van de analyse worden doorgaans eerst exp en log gedefinieerd (bijv. de log als integraal, en exp als inverse van log). Uit deze definities volgt dan dat

$(\exp x)'=\exp x$

en

$(\log x)'=\frac{1}{x}$

.

Vervolgens wordt de exponentiële functie (met willekeurig grondtal) gedefinieerd als

$a^x:=\exp(x\log a)$

, waaruit met de kettingregel direct volgt voor de afgeleide

$(a^x)'=\exp(a\log x)\cdot\log a =a^x\log a$

Revelation

Om verwarring te voorkomen: in Phys' stukje wordt met log de ln (natuurlijk logaritme) bedoeld, en niet de 10-log.

Nico135

Oké. Bedankt voor de antwoorden!

@Mathfreak

Is het zo dat je van

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\ln a\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}$

het volgende

$\lim_{\Delta xln a\rightarrow 0}\ln a\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}$

mag maken, omdat het Δx * ln(a) is, dus als Δx naar nul nadert, het product van dat getal met iets anders dat ook moet doen? Waarom zou je dat dan omschrijven? Dan kan je toch net zo goed het eerste laten staan?

Verder: Waarom is het zo dat

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$

?

Ik merk dat het zo is, maar hoe weet je dat?

Phys

Nico135 schreef:Verder: Waarom is het zo dat
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$
?

Ik merk dat het zo is, maar hoe weet je dat?

Bijvoorbeeld: volgens de definitie van afgeleide, geldt voor

$f(x)=e^x$

:

$f'(0):=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$

En we weten dat

$f'(x)=f(x)$

, dus

$f'(0)=f(0)=e^0=1$

.

Het kan ook met l'Hopital, of met een reeksontwikkeling van e^x (welke methode je voorkeur heeft hangt af van je definitie van e^x, en wat we allemaal bekend mogen veronderstellen, zoals de afgeleide ervan.)

Revelation

Ik merk dat het zo is, maar hoe weet je dat?

l'Hopital

Dat is een stelling die zegt dat als je bij een limietsituatie iets als 0/0 krijgt, je boven en onder de deelstreep mag differentieren.

Dus:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{e^{x}}{1}=1$

(excuses voor ontbreken van accenten, mijn toetsenbordlayout is fout)

Nico135

Phys schreef:Bijvoorbeeld: volgens de definitie van afgeleide, geldt voor
$f(x)=e^x$
:

$f'(0):=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$
En we weten dat
$f'(x)=f(x)$
, dus
$f'(0)=f(0)=e^0=1$
.

$f'(0):=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^0}{x-0}$

En dit is een gegeven? Dit was ik namelijk nog nergens op internet tegen gekomen.

@Revelation Oké, dat begrijp ik. Die stelling kende ik niet.

Phys

Nico135 schreef:
$f'(0):=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^0}{x-0}$
En dit is een gegeven? Dit was ik namelijk nog nergens op internet tegen gekomen.

Dit is de definitie van limiet, en heb je vast wel gezien:

$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Hier staat eigenlijk niets meer dan de helling van de raaklijn aan f in het punt a. Door x steeds dichter bij a te kiezen, benader je met

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

die echte raaklijn steeds beter.

@Revelation Oké, dat begrijp ik. Die stelling kende ik niet.

Ik noemde de stelling ook al, zie mijn link voor meer informatie.

Nico135

Oh, natuurlijk. Dankjewel voor alle uitleg ik begrijp het. Ik zal jouw link eens bekijken, ik las jullie posts gelijk.

Dan zou ik alleen nog graag willen weten of mijn redenatie hier klopt, en zo niet wat de juiste dan wel is.

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\ln a\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}$

het volgende

$\lim_{\Delta xln a\rightarrow 0}\ln a\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta xln a}$

mag maken, omdat het Δx * ln(a) is, dus als Δx naar nul nadert, het product van dat getal met iets anders dat ook moet doen? Waarom zou je dat dan omschrijven? Dan kan je toch net zo goed het eerste laten staan?

TD

Als Δx naar 0 moet gaan, dan moet c.Δx met c een constante ook naar 0 gaan.

In dit geval is die constante ln(a), dus je mag ook overgaan op de limiet met ln(a).Δx naar 0.

Nico135

Dan snapte ik dat goed. Ik begrijp het helemaal, dan mag hij dicht. Ik weet niet hoe dat werkt op dit forum? Maar als hij dicht moet als het klaar is, mag hij dicht.

TD

Nee, de topics blijven lekker open

Wie weet wil iemand nog iets nuttig/interessant toevoegen, of komt er nog een vraagje van iemand anders naar aanleiding van de berichten hierboven.

Phys

Volgens mij rest er nog een onbeantwoorde vraag van je:

Waarom zou je dat dan omschrijven? Dan kan je toch net zo goed het eerste laten staan?

Dat omschrijven doe je, omdat

$\lim_{\Delta x\ln a\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x\ln a}=\lim_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}$

en deze limiet kennen we (1, zoals hierboven besproken).

We kunnen op deze manier dus overgaan op een bekende limiet, terwijl het van

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x\ln a}$

minder (direct) duidelijk is wat de uitkomst is.

[je zou ook meteen hierop l'Hopital kunnen toepassen, met (uiteraard) hetzelfde resultaat]

mathfreak

@Nico135: Nog even een nadere uitleg:

$\lim_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}=1$

is een zogenaamde standaardlimiet, vandaar dat ik

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x}$

naar deze standaardlimiet om ging schrijven door eerst teller en noemer met ln a te vermenigvuldigen, en daarna de eigenschap te gebruiken dat xln a naar 0 gaat als x naar 0 gaat.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] bewijs afgeleide exponentiële functie

[wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti

Re: [wiskunde] bewijs afgeleide exponenti