Reeks
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 145
Re: Reeks
Ik zoek inderdaad een formuletje zoals n(tn+t1)/2 bij RR of t1(q^n-1)/(q-1) bij een MR. Ik zoek dus de som van 1³ tot k³
TD, dat klopt inderdaad, maar dat is nu juist wat ik moet bewijzen.
Ik las ergens iets leuk, nl: 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²
Ik probeerde dit te bewijzen en daarvoor zou ik willen weten hoe je de som vangt van dergelijke reeks zoals in het linkse lid. Het rechtse lid had ik al vervangen door (n^4+2n³+n²)/4, nu moet ik nog bewijzen dat het linkerlid hier ook gelijk aan is. Mooie stelling trouwens hé?
En wat is de Bernouilli veelterm TD?
TD, dat klopt inderdaad, maar dat is nu juist wat ik moet bewijzen.
Ik las ergens iets leuk, nl: 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²
Ik probeerde dit te bewijzen en daarvoor zou ik willen weten hoe je de som vangt van dergelijke reeks zoals in het linkse lid. Het rechtse lid had ik al vervangen door (n^4+2n³+n²)/4, nu moet ik nog bewijzen dat het linkerlid hier ook gelijk aan is. Mooie stelling trouwens hé?
En wat is de Bernouilli veelterm TD?
Jan Vonk
- Berichten: 24.578
Re: Reeks
Voor Bernouilli, zie Mathworld
Je (inderdaad 'leuke') stelling klopt.
Bewijs per volledige inductie:
- Ga na voor n = 1: triviaal.
- Veronderstel voldaan voor n = k
- Bewijs voor n = k+1
Rechterlid:
1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³
Dit is (k+1)³ meer dan de som met k termen, verondersteld in onze inductiehypthese gelijk te zijn aan (1 + 2 + ... + k)².
Toename door k+1 termen te nemen ipv k termen is hier dus: (k+1)³
Linkerlid:
(1 + 2 + ... + k + (k + 1))²
We trekken zoals hierboven (1 + 2 + ... + k)² van af om na te gaan of we dezelfde toename vinden voor k termen -> k+1 termen:
(1 + 2 + ... + k + (k + 1))² - (1 + 2 + ... + k)²
a² - b² = (a-b)(a+b)
=> (k+1)(2*(1 + 2 + ... + k) + (k+1))
Het vetgedrukte is nu een RR met als partiële som: k(k+1)/2
=> (k+1)(k(k+1) + (k+1)) = (k+1)((k+1)(k+1)) = (k+1)³
==> Zelfde increment voor k termen naar k+1 termen, q.e.d. (hoop ik)
Je (inderdaad 'leuke') stelling klopt.
Bewijs per volledige inductie:
- Ga na voor n = 1: triviaal.
- Veronderstel voldaan voor n = k
- Bewijs voor n = k+1
Rechterlid:
1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³
Dit is (k+1)³ meer dan de som met k termen, verondersteld in onze inductiehypthese gelijk te zijn aan (1 + 2 + ... + k)².
Toename door k+1 termen te nemen ipv k termen is hier dus: (k+1)³
Linkerlid:
(1 + 2 + ... + k + (k + 1))²
We trekken zoals hierboven (1 + 2 + ... + k)² van af om na te gaan of we dezelfde toename vinden voor k termen -> k+1 termen:
(1 + 2 + ... + k + (k + 1))² - (1 + 2 + ... + k)²
a² - b² = (a-b)(a+b)
=> (k+1)(2*(1 + 2 + ... + k) + (k+1))
Het vetgedrukte is nu een RR met als partiële som: k(k+1)/2
=> (k+1)(k(k+1) + (k+1)) = (k+1)((k+1)(k+1)) = (k+1)³
==> Zelfde increment voor k termen naar k+1 termen, q.e.d. (hoop ik)