\(\begin{array}{rclr}\displaystyle \int \dfrac{\mbox{d}x}{(\cos(x)-\sin(x))^2} & = & \displaystyle \int \dfrac{\mbox{d}x}{(1-\sin(2x))} &\\&&& \\& = & \dfrac12\displaystyle\int \dfrac{\mbox{d}y}{(1-\sin(y))} & \mbox{(substitutie } y = 2x\mbox{)}}\\&&& \\& = & \dfrac12\displaystyle\int \dfrac{\mbox{d}y}{\left(1-\dfrac{2\tan\left(\frac{y}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{y}{2}\right)}\right)} \\&&& \\& = & \displaystyle\int \dfrac{\mbox{d}t}{(1-t)^2} & \mbox{(substitutie } t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\mbox{)}}\\&&& \\& = & -\displaystyle\int \dfrac{\mbox{d}u}{u^2} & \mbox{(substitutie } u = 1-t\mbox{)}}\\&&& \\& = & \dfrac1u + C \\&&& \\& = & \dfrac{1}{1-\tan(x)} + C\end{array}\)
Mijn oplossing overschouwend, vind ik dat ik nogal een overvloed aan substituties gebruikt heb. Kan het korter (ik heb de oefening oorspronkelijk gevonden in een hoofdstuk over partiële integratie, maar dat zou niet mijn eerste keuze zijn)?PS: Ik heb hier en daar wat tussenstappen weggelaten, omdat ik niet twijfel aan de oplossing maar eerder aan de lengte ervan. Indien er onduidelijkheden zijn, vraag maar raak.
