[wiskunde] bewijs bij vierhoek

Patriick

Oke, ik heb weer hulp nodig en deze is echt moeilijk. Bij de vorige opgave had ik nog enig idee hoe ik moest beginnen, maar hier weet ik echt geen raad. Het zit zo:

Afbeelding

Gegeven is een willekeurige vierhoek ABCD. AGD, DCF, CBE en ABH zijn gelijkzijdige driehoeken. S1 is het snijpunt met de lijn GE en de omschreven cirkel van AGD. S2 is het snijpunt met de lijn GE en de omschreven cirkel van CBE.

Te bewijzen: AD + AB + AC > AS1 + BS2 + DS1 + S1S2

Enig idee iemand?

Alvast bedankt!

Patrick

Patriick

Ik hoop maar dat t niet weer 4-5 dagen gaat duren voordat ik een reactie krijg..

Niet slecht bedoeld hoor! Maar mijn toets is over 2 dagen. =D>

Korot

Mijn eerste advies: Teken de lijnen AS1, BS2 en DS1. Teken vervolgens een cirkel met middelpunt A en r=AD, en teken de lijn AD' met D' op deze cirkel. Misschien dat dat je verder helpt.

Patriick

Bedoel je zo?

Maar dan snap ik nog steeds niet wat ik hiermee moet doen? Het enige wat ik hieruit kan opmaken is dat AS1 + DS1 > AD.. (ik heb in de tekening de omschreven cirkel van GDA weggelaten).

Oh, ik heb een typo gemaakt..

Te bewijzen is niet AD + AB + AC > AS1 + BS2 + DS1 + S1S2

maar AD + AB + BC > AS1 + DS1 + CS2 + BS2 + S1S2!!!

yoralin

Gelijkzijdige driehoek => AD = GA en BC = BE.

Dus te bewijzen is dat GA + AB + BE > ...,

maar GA + AB + BE is alvast groter dan GE = GS1 + S1S2 + S2E.

Als AD en BC evenwijzig zouden zijn, was 't daarmee opgelost ( som van de koorden < 2*straal).

Indien niet, zie ik 't ook niet meteen..

yoralin

OK (als ik geen rekenfouten gemaakt heb) :

in de cirkel waarop A, G, D en S1 liggen is

de hoek tussen AS1 en GS1 gekend (boog op de koorde AG),

zo ook voor deze tussen DS1 en GS1.

Pas nu de cosinusregel toe voor |AG| in de driehoek AGS1,

zo ook voor |DG| in DGS1...

yoralin

of vorige post eleganter :

gebruik de stelling van Ptolemaeus voor de koordenvierhoek AGDS1.

en vereenvoudig, want AGD is gelijkzijdig.

Mooie oefening !

Patriick

Sorry, maar ik snap het nog steeds niet?

Als ik de stelling van Ptolemaeus gebruik krijg ik dus:

AG·DS1 + GD·AS1 = GS1·AD

En dat is hetzelfde als: AD·(DS1 + AS1) = AD·GS1.

Dan krijg ik DS1 + AS1 = GS1.

Hetzelfde kan ik bij de koordenvierhoek S2BEC doen:

BS2·CE + S2C·BE = S2E·BC

En dat is hetzelfde als: BC·(BS2 + C2S) = BC·S2E

Dan krijg ik BS2 + C2S = S2E

Ik weet echt niet hoe ik nu verder moet? En hoe moet ik de cosinusregel gebruiken als ik geeneens getallen heb? En ik ken de waarden van de hoeken niet?

yoralin

Wat we al hadden :

AD + AB + AC = GA + AB + BE > GE.

Het volstaat dus om aan te tonen dat

GE = GS1 + S1S2 + S2E >= AS1 + DS1 + CS2 + BS2 + S1S2.

of (hoera, S1S2 valt al weg) :

GS1 + S2E >= AS1 + DS1 + CS2 + BS2.

We kunnen zelfs aantonen dat GS1 + S2E = AS1 + DS1 + CS2 + BS2 !

Via Ptolemaeus heb je dit ook al gevonden.

Ik had 't eerst via de cosinusregel gezien :

in de driehoek met hoekpunten A, S1 en G is de hoek tussen AS1 en S1G = 60°, want dat is een omtrekshoekhoek op de boog AG (van de cirkel waarop A,S1,D en G liggen), net zoals de hoek tussen AD en DG een omtrekshoek op AD is en die is natuurlijk 60°.

Dus :

|AG|^2 = |AS1|^2 + |S1G|^2 - 2*cos(60°)|AS1|.|S1G|.

Zo ook :

|DG|^2 = |DS1|^2 + |S1G|^2 - 2*cos(60°)|DS1|.|S1G|.

|AG|^2 = |DG|^2, zodat

|AS1|^2 + |S1G|^2 - |AS1|.|S1G| = |DS1|^2 + |S1G|^2 - |DS1|.|S1G|, of

|AS1|^2 - |AS1|.|S1G| = |DS1|^2 - |DS1|.|S1G|, of

|AS1|^2 - |DS1|^2 = |S1G|.(|AS1| - |DS1|), dus

|AS1| + |DS1| = |S1G|, als |AS1|<>|DS1|, maar als die gelijk zijn, zijn 't zijden van een regelmatige zeshoek en is S1G een middelijn, dus dan is die gelijkheid ook in orde.

Patriick

Heel, heel, heel, heel erg bedankt voor je geduld en superuitleg! Ik snap het eindelijk!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] bewijs bij vierhoek

[wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek

Re: [wiskunde] bewijs bij vierhoek