[wiskunde] wortels

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-05-'09, 15:26

dvg

Berichten: 27

[wiskunde] wortels

Ik lees dat:

Een reëel getal a ;) 0 heeft 2 even n-de machtswortels

Vb.

De eerste 4-de machtswortel van 81 is 3

De tweede 4-de machtswortel van 81 is -3

Ik vind dat nogal verwarrend, de 4-de machtswortel van 81 is toch steeds positief?

In een vergelijking als deze begrijp ik het wel:

x^4 = 81

|x|= 3

x = :D 3
Omhoog

Bericht 07-05-'09, 15:36

anusthesist

Gebruikersavatar
Berichten: 6.058

Re: [wiskunde] wortels

-3*-3*-3*-3 is toch gewoon 81?
That which can be asserted without evidence can be dismissed without evidence.
Omhoog

Bericht 07-05-'09, 17:10

Patriick

Berichten: 76

Re: [wiskunde] wortels

De eerste tweedemachtswortel van 144 is 12.

De tweede tweedemachtswortel van 144 is -12.

In een vergelijking dus:
\( x^2 \)
= 144
\( x \)
=
\( \sqrt[2]{144} \)
of
\( x \)
= -
\( \sqrt[2]{144} \)

\( x \)
= 12 of
\( x \)
= -12, want 12 x 12 = 144 en -12 x -12 = 144

(Natuurlijk wordt de 2 altijd weggelaten).

Zo ook bij de vierdemachtswortels van 81:

De eerste vierdemachtswortel van 81 is 3.

De tweede vierdemachtswortel van 81 is -3.

In een vergelijking dus:
\( x^4 \)
= 81
\( x \)
=
\( \sqrt[4]{81} \)
of
\( x \)
= -
\( \sqrt[4]{81} \)

\( x \)
= 3 of
\( x \)
= -3, want 3 x 3 x 3 x 3 = 81 en -3 x -3 x -3 x -3 = 81.
Omhoog

Bericht 07-05-'09, 17:44

aber

Berichten: 156

Re: [wiskunde] wortels

Euh, een even n-de machtswortel (2, 4, ...) is volgens de definitie altijd positief.

De tweede 4-de machtswortel komt van de tegengestelde 4-de machtswortel van 81 dus -(3) = -3,

en niet van -3 x -3 x -3 x -3.
Omhoog

Bericht 07-05-'09, 19:36

anusthesist

Gebruikersavatar
Berichten: 6.058

Re: [wiskunde] wortels

aber schreef:Euh, een even n-de machtswortel (2, 4, ...) is volgens de definitie altijd positief.

De tweede 4-de machtswortel komt van de tegengestelde 4-de machtswortel van 81 dus -(3) = -3,

en niet van -3 x -3 x -3 x -3.
Wat zou de reden zijn om er een minteken voor te zetten?
That which can be asserted without evidence can be dismissed without evidence.
Omhoog

Bericht 07-05-'09, 20:43

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [wiskunde] wortels

Ik vind dat nogal verwarrend, de 4-de machtswortel van 81 is toch steeds positief?
Er zijn vier vierdemachtswortels van 81 (anders gezegd: x4=81 heeft vier oplossingen), en dat zijn 3, -3, 3i, en -3i.

Als je het hebt over "de" vierdemachtswortel van 81, dan wordt daarmee doorgaans de reële, positieve (ook wel primaire of in Engels principal) wortel bedoeld. In dit geval 3.

Dus "is steeds positief"? Nee, niet iedere vierdemachtswortel is positief (of zelfs reëel). Maar wat we normaliter bedoelen met "de" vierdemachtswortel, dat is inderdaad positief.
Wat zou de reden zijn om er een minteken voor te zetten?
Omdat je daarmee een andere (je zou kunnen zeggen "de volgende", omdat hij het heeft over de eerste, tweede, enz) vierdemachtswortel krijgt.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 08-05-'09, 00:45

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] wortels

Wanneer we de wortelnotatie gebruiken, wordt doorgaans positieve wortel bedoeld. Vandaar dat je die met een plus en/of minteken ziet verschijnen. De vergelijking x4 = 81 heeft dus twee reële oplossingen, maar enkel de positieve noteren we als \(\sqrt[4]{81} = 3\). Om ze allebei te noteren, schrijft men doorgaans (werkend in R):
\({x^4} = 81 \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{{81}} = 3 \vee x = - \sqrt[4]{{81}} = - 3\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”