[wiskunde] omwentelingslichamen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 7.390
[wiskunde] omwentelingslichamen
Hallo,
y x3
We laten de grafiek van deze functie om de rechte met vergelijking x=1 wentelen. Bereken bu het volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat over het interval [0,1]
Ik dacht: pi*integraal van (x-1)^6 van 0 tot 1.
Dit is dus pi*((x-1)^7)/7 van 0 tot 1, dit is 0-(1/7), wat zeker niet klopt.
De uitkomst moet echter pi/10 zijn...
Kan iemand me aub helpen?
y x3
We laten de grafiek van deze functie om de rechte met vergelijking x=1 wentelen. Bereken bu het volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat over het interval [0,1]
Ik dacht: pi*integraal van (x-1)^6 van 0 tot 1.
Dit is dus pi*((x-1)^7)/7 van 0 tot 1, dit is 0-(1/7), wat zeker niet klopt.
De uitkomst moet echter pi/10 zijn...
Kan iemand me aub helpen?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 2.746
Re: [wiskunde] omwentelingslichamen
dit lijkt me een wiskundige contaminatiey x3
ofwel x x3 ofwel y(x)= x3
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] omwentelingslichamen
Twee opmerkingen:
- je wentelt om een af evenwijdig met de y-as, niet evenwijdig met de x-as,
- je moet eerst de juiste verschuiving toepassen, dan het kwadraat nemen.
- je wentelt om een af evenwijdig met de y-as, niet evenwijdig met de x-as,
- je moet eerst de juiste verschuiving toepassen, dan het kwadraat nemen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] omwentelingslichamen
Bedankt!
Dus:
stap 1
We verschuiven de grafiek zo dat hij rond de y-as (x=0) wentelt, en niet langer rond x=1. Een verschuiving verandert de inhoud immers niet. Het gaat om een verschuiving naar links. De vergelijking wordt dan \( y=(x+1)^3\). Het integratie-interval op de x-as wordt nu [-1,0], op de y-as is dit [0,1]. De functie herschrijven we als \( x=y^(1/3)-1\)
stap 2
We vullen de formule \(\pi \int x^2 dy \) toe. Ingevuld geeft dit \(\pi \int (y^(1/3)-1)^2 dy \).
Dit geeft \(\pi \int (y^(2/3)-2*y^(1/3)+1) dy \).
\((1^(5/3)-2*1^(4/3)+1)-0\)
En dat is 0, en niet \(\pi /10\)
Kan iemand me mijn fout aanduiden aub?
Dank bij voorbaat!
PS: Wat doe ik verkeerd bij de Latex-code dat mijn haakjes op een verschillend niveau staan?
Dus:
stap 1
We verschuiven de grafiek zo dat hij rond de y-as (x=0) wentelt, en niet langer rond x=1. Een verschuiving verandert de inhoud immers niet. Het gaat om een verschuiving naar links. De vergelijking wordt dan \( y=(x+1)^3\). Het integratie-interval op de x-as wordt nu [-1,0], op de y-as is dit [0,1]. De functie herschrijven we als \( x=y^(1/3)-1\)
stap 2
We vullen de formule \(\pi \int x^2 dy \) toe. Ingevuld geeft dit \(\pi \int (y^(1/3)-1)^2 dy \).
Dit geeft \(\pi \int (y^(2/3)-2*y^(1/3)+1) dy \).
\((1^(5/3)-2*1^(4/3)+1)-0\)
En dat is 0, en niet \(\pi /10\)
Kan iemand me mijn fout aanduiden aub?
Dank bij voorbaat!
PS: Wat doe ik verkeerd bij de Latex-code dat mijn haakjes op een verschillend niveau staan?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] omwentelingslichamen
Allemaal goed tot en met:
We vullen de formule\(Ёxȁ\)Om meer dan één teken in een exponent te zetten, moet je accolades gebruiken; dus x^{...}.PS: Wat doe ik verkeerd bij de Latex-code dat mijn haakjes op een verschillend niveau staan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] omwentelingslichamen
Bedankt!
Dit geeft:
\(\pi \int (y^{2/3}-2*y^{1/3}+1) dy \)
\(3/5-6/4+1 = 16/10-15/10 = 1/10\)
Ook Mathematica gaf dit, maar zonder tussenstappen.
Integrate[y^(2/3) - 2*y^(1/3) + 1, {y, 0, 1}] levert 1/10
\(\int_0^1 \left(1-2 y^{1/3}+y^{2/3}\right) \, dy = 1/10\)
Dit geeft:
\(\pi \int (y^{2/3}-2*y^{1/3}+1) dy \)
\(3/5-6/4+1 = 16/10-15/10 = 1/10\)
Ook Mathematica gaf dit, maar zonder tussenstappen.
Integrate[y^(2/3) - 2*y^(1/3) + 1, {y, 0, 1}] levert 1/10
\(\int_0^1 \left(1-2 y^{1/3}+y^{2/3}\right) \, dy = 1/10\)
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] omwentelingslichamen
Je vergeet de pi mee te spelen, antwoord is dus pi/10.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)