Goldbach

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 19-05-'09, 10:50

PeterPan

Goldbach

Stel dat het vermoeden van Goldbach bewezen is.

Dat wil zeggen, elk even getal is de som van 2 priemgetallen.

Toon dan aan de stelling van Bertrand: Voor elk natuurlijk getal
\(n\)
is er een priemgetal
\(p\)
met
\(n<p<2n\)
.
Omhoog

Bericht 19-05-'09, 12:37

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goldbach

Neem een even getal 2(n+1), dan bestaan er (Goldbach) priemgetallen p,q zodat p+q = 2(n+1).

Stel ("WLOG") dat p :P q, dan is 2p :P p+q = 2(n+1) waaruit p :P n+1, dus p > n.

Stel p > 2n, dan zou p+q > 2n+q ;) 2n+2 (want q priem) terwijl p+q = 2(n+1), dus p < 2n.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-05-'09, 12:51

PeterPan

Re: Goldbach

Helemaal goed ;)
Omhoog

Bericht 20-05-'09, 10:38

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goldbach

Wel leuk, ik had ook al van Bertrand gehoord maar had er nooit bij stilgestaan dat het een zo eenvoudig uit het ander volgde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 23-05-'09, 17:01

Agno

Berichten: 100

Re: Goldbach

Wel leuk, ik had ook al van Bertrand gehoord maar had er nooit bij stilgestaan dat het een zo eenvoudig uit het ander volgde.
Is dat niet heel erg logisch? Als de stelling van Goldbach waar is en
\(p+q = n\)
dan moet als
\(p < q\)
toch altijd gelden dat
\(2 < p < \frac12 n\)
en dus
\(\frac12 n < q < n\)
(dit geldt voor alle sommen, ongeacht of dit een priemgetal is) ?

Een probleem kan zich echter nog altijd voordoen als p=q (bijv. 46 = 23 + 23) de enige "Goldbach" somcombinatie is voor een bepaalde n. Dan is Betrand's stelling nog steeds niet aangetoond.

Maar wellicht een meer provocerende stelling van Agno: ;)

Bewijs dat als de Goldbach priemsommen
\(p + q = n\)
voor
\(n = even, n > 8\)
altijd een laagste priemgetal hebben
\(p < 1/3 n\)
(lijkt te kloppen) en er dus altijd een priemgetal
\( q \)
moet bestaan met
\(\frac23 n < q < n\)
.

Mijn hoop is om voor steeds hogere n een steeds lagere
\(p < \frac{1}{a}\)
ondergrens te vinden, waarmee je zou kunnen voorspellen (als de stelling van Goldbach waar blijkt), dat er een priemgetal q moet bestaan met
\((n - \frac{1}{a}) < q < n\)
Omhoog

Bericht 23-05-'09, 17:13

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goldbach

Is dat niet heel erg logisch?
Ik zeg toch niet dat het onlogisch is? Ik was (de stelling van) Bertrand al ooit tegengekomen, maar had deze (inderdaad logische en eenvoudige) link met Goldbach toen niet gelegd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 23-05-'09, 18:02

Agno

Berichten: 100

Re: Goldbach

Ik zeg toch niet dat het onlogisch is? Ik was (de stelling van) Bertrand al ooit tegengekomen, maar had deze (inderdaad logische en eenvoudige) link met Goldbach toen niet gelegd.


Dat was dan ook geen goede woordkeuze mijnerzijds. Mea culpa.
Omhoog

Bericht 24-05-'09, 01:27

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goldbach

Dat was dan ook geen goede woordkeuze mijnerzijds. Mea culpa.
Geef niet ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 24-05-'09, 12:47

Agno

Berichten: 100

Re: Goldbach

Agno schreef:(...)

Maar wellicht een meer provocerende stelling van Agno: ;)

Bewijs dat als de Goldbach priemsommen
\(p + q = n\)
voor
\(n = even, n > 8\)
altijd een laagste priemgetal hebben
\(p < 1/3 n\)
(lijkt te kloppen) en er dus altijd een priemgetal
\( q \)
moet bestaan met
\(\frac23 n < q < n\)
.

Mijn hoop is om voor steeds hogere n een steeds lagere
\(p < \frac{1}{a}\)
ondergrens te vinden, waarmee je zou kunnen voorspellen (als de stelling van Goldbach waar blijkt), dat er een priemgetal q moet bestaan met
\((n - \frac{1}{a}) < q < n\)
Dat moet natuurlijk
\(n > 12\)
zijn! (
\(12 = 5+7, p = 5, p > \frac13 n \)
)

Voor
\(4 \le n \le 12\)
geldt dat
\(p \le 1/2 n\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”