Gemiddelde van zijden

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Gemiddelde van zijden

De rekenkundig gemiddelde lengte van de zijden van een willekeurige n-hoek wordt g genoemd; zijn oppervlakte A.

Voor een vierkant geldt, bijna triviaal, dat A = g2. Kan dat ook voor een andere veelhoek gelden? Kun je je ja of nee bewijzen? (Geen huiswerk)

Berichten: 4.246

Re: Gemiddelde van zijden

Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Gemiddelde van zijden

Een schitterende pagina maar die geeft geen antwoord op mijn vraag.

Het gaat niet speciaal over regelmatige veelhoeken.

Berichten: 194

Re: Gemiddelde van zijden

Het zou me niet verbazen als de bovengrens van A/g2 voor n-hoeken bereikt wordt voor een regelmatige n-hoek, dus n / 4 tg(π/n) is (*). Het infimum is natuurlijk 0.

Als (*) juist is : voor n > 4 is π/n < 1 en met t = π/n staat er n / (4 t . tg t ) =: f(t).

Op ]0,1[ is f stijgend, maar voor n=5 is die bovengrens al < 2.

Voor n=3 krijgt je ook iets kleiner dan 2.

Dus enkel voor n=4 kan die verhouding 2 zijn.

Berichten: 194

Re: Gemiddelde van zijden

Oei oei, op ]0,1[ is t . tg t stijgend, dus 1/ (t . tg t) is dalend.

Ik zat met de inverse in gedachten, maar hier gaat 't over de omgekeerde. Shame on me !

Voor de bovengrens A/g2 ≤ N2/(4 pi) : zie bvb. An Elementary Proof of the Isoperimetric Inequality.

Daar is L = N.g. De verhouding kan dus 1 zijn, behalve bij N = 3.

In de vorige post zat ik nog met die verhouding = 2 in gedachten omdat het kwadraat uit de eerste post te laag stond.

Reageer