Fata morgana

Equations

Op Wikipedia kwam ik het onderstaande plaatje over fata morgana's tegen. Het licht buigt af door temperatuursverschillen in de hoogte. Wat ik mij afvraag is hoe de lichtstraal in het plaatje bij punt P (getekend) weer terug omhoog kan buigen richting het oog. In punt P loopt de lichtstraal namelijk horizontaal, dus zou deze geen temperatuurgradiënt meer moeten ervaren. Hierdoor zou de lichtstraal in punt P niet verder moeten buigen, maar doet dat toch in het plaatje. Kan iemand dit uitleggen?

Afbeelding

eendavid

Het pad van een lichtstraal wordt bepaald door het minimaliseren van de optische weglengte. We hoeven eigenlijk niet in de wiskunde te gaan (alhoewel we dat zouden kunnen doen) om in te zien dat dit impliceert dat de lichtstraal wordt afgebogen naar de kant met de kleinste brekingsindex. Dat de gradient van de brekingsindex loodrecht staat op de lichtstraal vormt daarop geen uitzondering. Beschouw een medium waarin de brekingsindex een (monotone) functie is van de hoogte. Dan zal een horizontale lichtstraal de optische weglengte niet minimaliseren.

Je intuïtieve onderstelling dat een lichtstraal die rechtdoor beweegt geen gradient 'ervaart' is dus niet correct. Dat zou eigenlijk hetzelfde zijn als zeggen dat de aarde, met haar cirkelvormige beweging van rond de zon, de gradiënt van de gravitationele potentiaal van de zon niet ervaart omdat de aarde loodrecht beweegt op deze gradiënt (dat is natuurlijk niet correct).

Equations

Er zijn een paar dingen die ik hierop wil zeggen:

1) Een lichtstraal buigt niet af naar de kant van de kleinste brekingsindex, maar de grootste.

2) De aarde ervaart geen zwaartekracht omdat er een zwaartekrachtgradiënt is. Ook zonder gradiënt wordt de aarde aangetrokken door de zon. Bij de lichtstraal is het juist wel de gradiënt die voor de buiging zorgt, dus ik snap de vergelijking niet.

3) Ik probeer de afbuiging te simuleren. Dit doe ik door de lucht in dunne plakjes te verdelen in de hoogte. Op elk plakje kan ik de Wet van Snellius toepassen. Dit werkt, behalve in het plake dat door punt P gaat want daar is de hoek van inval 90 graden. Hoe kan ik dit oplossen? Kan ik überhaupt de Wet van Snellius in deze simulatie toepassen?

eendavid

2) De aarde ervaart geen zwaartekracht omdat er een zwaartekrachtgradiënt is. Ook zonder gradiënt wordt de aarde aangetrokken door de zon. Bij de lichtstraal is het juist wel de gradiënt die voor de buiging zorgt, dus ik snap de vergelijking niet.

Ik heb het over de gradient in de zwaartekrachtspotentiaal. Uiteraard is (minus) de gradient van deze potentiaal de kracht, dus als er geen gradiënt is, is er geen kracht

.

Ik kom nog terug op je eerste punt, misschien ben ik te snel geweest.

Equations

Klopt, als ik bij punt 1 gelijk heb staan we quitte.

En punt 3?

eendavid

Ja, ik heb het nagerekend (en met de benadering van de situatie die jij maakt heb je vanzelfsprekend gelijk): je hebt gelijk bij punt 1. De straal word versneld naar de richting met de grootste brekingsindex, bedankt voor de correctie. Afleiding vanuit Fermat's principe:

Verborgen inhoud

Ik denk dat je snellius kan gebruiken als benadering. Natuurlijk ga je bij snellius op een punt komen dat je geen reële hoek vindt om het licht door te laten (zie hier). Je moet gewoon in je programma ingeven dat je straal in dit geval wordt gereflecteerd.

Jan van de Velde

3) Ik probeer de afbuiging te simuleren. Dit doe ik door de lucht in dunne plakjes te verdelen in de hoogte. Op elk plakje kan ik de Wet van Snellius toepassen. Dit werkt, behalve in het plakje dat door punt P gaat want daar is de hoek van inval 90 graden.

Dit moet al iéts eerder spaaklopen: namelijk als je de grenshoek bereikt. En die grenshoek moet óók uit de wet van Snellius volgen. Ergens krijg je dus een hoek van inval van bijvoorbeeld 89,5° die een hoek van breking van 90° veroorzaakt. Op dat punt moet je simulatie dan "interne reflectie" roepen. Een hoek van inval van 90,0000 graden mag je simulatie eigenlijk nooit bereiken.

eendavid

Is dat niet hetzelfde zeggen als wat ik zei, jan? Merk ook op dat de uitgaande hoek 89.5° is, niet 90°.

Equations

Eigenlijk heb je nooit interne reflectie, want door het opdelen in oneindig dunne plakjes is je n₁/n₂ eigenlijk altijd gelijk aan 1. Interne reflectie komt alleen voor bij grenslagen en niet bij geleidelijke overgangen in brekingsindex.

Jan van de Velde

Is dat niet hetzelfde zeggen als wat ik zei, jan?

Ja, eigenlijk wel denk ik.

Merk ook op dat de uitgaande hoek 89.5° is, niet 90°.

Ik weet enit hoe je dat bedoelt, maar dat zei ik ook niet: op het punt dat snellius een hoek van breking van 90° oplevertt moet de simulatie één stapje ophouden met breken, en in plaats daarvan één stapje reflectie uitvoeren.

Equations

Ja maar en reflectie bij een invalshoek van 90 graden levert weer 90 graden op.

dus moet het iets eerder gereflecteerd worden bij 90 - (een erg kleine hoek).

Jan van de Velde

Ja maar en reflectie bij een invalshoek van 90 graden ..//..

Die invalshoek bereik je nooit, want snellius móet ergens voor dat punt een brekingshoek van 90° gegeven hebben, nij een noodzakelijk kleinere hoek van inval. Een hoek van breking van 90° betekent automatisch (interne) reflectie.

stel dat ergens een hoek van inval van 89,9° een hoek van breking van 90,0° geeft, dan krijg je op dat punt geen hoek van breking van 90°, maar een hoek van terugkaatsing van -89,9°. Vanaf dat punt zal de straal weer steeds steiler naar boven af gaan buigen.

eendavid

Ja, equations heeft gelijk dat je in de continuümlimiet zelf niet over interne reflectie kan spreken (maar ook niet over snellius, daar moet je gewoon de vergelijking die ik schreef oplossen). Echter, voor elk rooster krijg je interne reflectie, en dat is gewoon het rooster-equivalent van wat er in het continuüm gebeurt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Fata morgana

Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana

Re: Fata morgana