Als je 'netjes' met functies werkt, dus je specifieert domein en codomein aangezien deze strikt genomen
onderdeel zijn van de definitie van de functie, dan moet je functie bijectief zijn. We hebben dan immers dat als een functie
\(f:A \to B\)
een inverse heeft, dat deze gaat van B naar A. Opdat die functie
\(g:B \to A\)
bestaat voor elke b in B, moet f daar een beeld hebben (dus moet er een a in A zijn zodat f(a) = b).
Stel bijvoorbeeld dat je de volgende functie beschouwt:
\(\exp:\rr \to \rr : x \mapsto e^x\)
We weten dat exp als inverse ln heeft (problematiek van domein/codomein even buiten beschouwing gelaten), dus dan zou de inverse gegeven worden door (ik wissel domein en codomein, maar die zijn hier nu toevallig gelijk genomen...):
\(\ln:\rr \to \rr : x \mapsto \ln x\)
Maar dit is problematisch, aangezien deze functie niet goed gedefinieerd is (ln bestaat helemaal niet voor negatieve getallen!).
Maar die exp waar we van vertrokken was wel injectief (verschillende argumenten hebben steeds verschillende beelden). Dus als we gewoon de reëelwaardige functie exp op =D> bekijken (geen codomein gespecifieerd), dan kunnen we deze altijd inverteren als we als domein van de inverse functie, het beeld van exp beschouwen. Eigenlijk maak je exp dus impliciet surjectief (door het codomein gelijk aan het beeld te nemen) en dus ook bijectief!
niet noodzakelijk een functie is)
