Springen naar inhoud

Fysische interpretatie richtingsafgeleide


  • Log in om te kunnen reageren

#1

imperator

    imperator


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 19:58

zou iemand mij kunnen vertellen hoe ik de richtingsafgeleide van een functie van 2 veranderlijken, in een punt P , het best kan interpreteren in het 3D?
wat wil een richtingafgeleide van -2 of 2 in dat punt voorstellen?
en wanneer zal de richtingsafgeleide gelijk zijn aan 0?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24102 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 20:07

Ga een dimensie lager en bekijk een reŽle functie van ťťn veranderlijke, y(x). De afgeleide (in een punt) geeft de "mate van stijging in y" (negatief voor daling) aan, bij een toename in x.
Voor een functie van twee veranderlijken, z(x,y), heb je niet meer zoiets als "de afgeleide". Je kan wel kijken in de richting van beide coŲrdinaten, dat geeft een partiŽle afgeleide in de x- en y-richting. Zo vertelt de partiŽle afgeleide naar x, hoeveel z zal toenemen bij een toename in x, wanneer y constant gehouden wordt (en omgekeerd).
De richtingsafgeleide kan je zien als een veralgemening van de partiŽle afgeleide. Je kijkt dan niet per se in de richting evenwijdig aan een van de coŲrdinaatsassen (x of y), maar in een willekeurige richting. Hoe verandert z bijvoorbeeld als we een toename in de (1,1)-richting beschouwen (in plaats van (1,0) en (0,1) voor de partiŽle afgeleiden), enz.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

imperator

    imperator


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 20:49

Ga een dimensie lager en bekijk een reŽle functie van ťťn veranderlijke, y(x). De afgeleide (in een punt) geeft de "mate van stijging in y" (negatief voor daling) aan, bij een toename in x.
Voor een functie van twee veranderlijken, z(x,y), heb je niet meer zoiets als "de afgeleide". Je kan wel kijken in de richting van beide coŲrdinaten, dat geeft een partiŽle afgeleide in de x- en y-richting. Zo vertelt de partiŽle afgeleide naar x, hoeveel z zal toenemen bij een toename in x, wanneer y constant gehouden wordt (en omgekeerd).
De richtingsafgeleide kan je zien als een veralgemening van de partiŽle afgeleide. Je kijkt dan niet per se in de richting evenwijdig aan een van de coŲrdinaatsassen (x of y), maar in een willekeurige richting. Hoe verandert z bijvoorbeeld als we een toename in de (1,1)-richting beschouwen (in plaats van (1,0) en (0,1) voor de partiŽle afgeleiden), enz.

ik denk dat ik het nog altijd niet volledig begrijpt,(vooral die willekeurige richting)
stel dat we een functie hebben zoals het op het figuur staat.en we beschouwen het toppunt.als ik mij niet vergis, zijn alle richtingsafgeleides in deze punt ofwel negatief ofwel gelijk aan 0?en ze zijn enkel negatief als ze een richting hebben die evenwijdig is met functie?

Bijgevoegde miniaturen

  • functie.JPG

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24102 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 20:52

Als je in de top zit en je beweegt je, in eender welke richting, zal de functie dalen. Alle richtingsafgeleiden zullen dus negatief zijn.

De richtingsafgeleide laat toe die mate van daling te berekenen in elke richting die je wil. Met een partiŽle afgeleide zou je dat alleen kunnen volgens de coŲrdinaatsassen (dus evenwijdig met de x- of y-as).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24102 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 20:58

Plaatje gevonden:

Geplaatste afbeelding

Met een partiŽle afgeleide zou je dat alleen volgens de assen kunnen doen, hier is een richting gekozen die een zowel volgens x als volgens y een niet-nulle component heeft. De richtingsafgeleide zelf kan je (zoals bij een partiŽle afgeleide) zien als de richtingscoŽfficiŽnt van de raaklijn (zwart) aan de kromme die je bekomt als snijlijn (rood) van het oppervlak van de functie met een vlak volgens de gekozen richting. Maar dat op zich is dus niet "nieuw" aan de richtingsafgeleide, wel het feit dat dit nu kan met een vlak in een willekeurige richting en niet meer alleen met vlakken evenwijdig aan x of y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

imperator

    imperator


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 22:01

als ik mij niet vergis is de richting die u gekozen hebt,de richting van de snijlijn van het gele vlak met het xy-vlak.de richtingsvector v heeft dus als coordinaten (vx,vy,0).maar stel dat ik een andere richting kies (bv de richting van de raaklijn in P) wat gebeurt dan met de richtingsafgeleide in P?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24102 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 22:03

De richting is in de vorige figuur aangeduid in het groen en heeft inderdaad (zoals ik al zei) een x- en y-component (beide niet-nul). Het zijn hier maar twee (onafhankelijke) variabelen, dus er is geen z-component voor de beschouwde richtingen. De richting die jij voorstelt, is dus niet van toepassing.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

imperator

    imperator


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 22:16

De richting is in de vorige figuur aangeduid in het groen en heeft inderdaad (zoals ik al zei) een x- en y-component (beide niet-nul). Het zijn hier maar twee (onafhankelijke) variabelen, dus er is geen z-component voor de beschouwde richtingen. De richting die jij voorstelt, is dus niet van toepassing.

dus enkel voor de richtingen evenwijdig met het xy-vlak kunnen we een 3D voorstelling maken en niet voor andere richtingen? dat is wel een beetje verwarrend.vele dank voor je antwoorden. ;)

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24102 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2009 - 22:21

Je bent een beetje in de war met dimensies. Kijk terug naar een functie van ťťn veranderlijke, y = f(x). Om de grafiek van de functie voor te stellen heb je twee dimensies nodig (eentje voor de onafhankelijke variabele x, en een voor de afhankelijke variabele; de functiewaarde y). Je kan y naar x afleiden, enkel naar x. Er is dus ook alleen een verandering volgens x te berekenen.

Functies van twee veranderlijken, z = f(x,y), kan je niet meer in een vlak voorstellen. De argumenten (onafhankelijke variabelen x en y) zitten nu in een vlak (in plaats van op een rechte), je hebt een derde dimensie nodig om de functiewaarde uit te zetten. De hele grafiek toont zich dus pas in 3D, maar het gaat over een functie van twee veranderlijken; nu met twee partiŽle afgeleides naar die veranderlijken.

De richtingen waarin je een verandering kan beschouwen, bevinden zich nu dus in een vlak. Maar in dat vlak heb je meer dan alleen de x- en y-richting (verandering van de functiewaarde in deze richtingen worden gegeven door de twee partiŽle afgeleides). Een verandering in een willekeurige richting (zoals een vector die een hoek van 20į met de x-as maakt), kan via de richtingsafgeleide.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures