[wiskunde] stokes

Luuk1

Hoi, ik heb een vraag over de stokes theorie. Ik kom op een minteken na goed uit, maar ik zie niet waar de fout zit.

Ik wil voor onderstaande vergelijking de linkerzijde en rechterzijde afzonderlijk uitrekenen, om te kijken of ze gelijk aan elkaar zijn.

\(\int(\nabla \times \textbf{v})\cdot d\textbf{a} = \int \textbf{v}\cdot d \textbf{l}\)

Beschouw het oppervlakte:

: stokes.JPG (3.17 KiB) 269 keer bekeken

Waarbij het lijnstuk op de z-as van 0 tot 2 loopt en op de y-as van 0 tot 2. Het schuine lijnstuk wordt dan dus gegeven door z = 2 - y.

Gegeven is het vectorveld:

\( \textbf{v} = (xy) \hat{\textbf{x}} + (2yz)\hat{\textbf{y}} + (3xz) \hat{\textbf{z}} \)

Dan is

\( \nabla \times \textbf{v} = -(2y) \hat{\textbf{x}} - (3zy)\hat{\textbf{y}} - (x) \hat{\textbf{z}} \)

Dit geeft

\(\int(\nabla \times \textbf{v})d\textbf{a}=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} (-2y) dz dy = \left[ -2y^2 + \frac{2}{3}y^3 \right]_{0}^{2}= - \frac{8}{3}\)

=======================================================================

Dan via de lijnintegraal. De lijnintegraal langs de z-as en y-as is 0. Alleen de schuine lijn blijft dan nog over.

Ik neem langs de schuine lijn (ik begin dus in het punt (0,2,0) en loop dan naar (0,0,2) )

\( d\textbf{l} = -(dy) \hat{\textbf{y}} + (dz) \hat{\textbf{z}} \)

Dan is

\( \textbf{v}\cdot d\textbf{l} = -2yzdy\)

Dat geeft dan dus:

\( - \int_{2}^{0} (2yz)dy = - \int_{2}^{0} 2y(2-y)dy = - \left[ 2y^2 - \frac{2}{3}y^3 \right]_{2}^{0}= + \frac{8}{3} \)

Ik zie maar niet waardoor het verschil in de

\(+\frac{8}{3} \)

en

\(-\frac{8}{3} \)

onstaat... ?

Xenion

Je vergeet een stuk in de Stelling. (Dit zou meer opvallen als je je vectoren had aangeduid, je ziet dat je in jouw linkerlid de integraal van een vector neemt en in je rechterlid de integraal van een scalair: die 2 kunnen niet gelijk zijn)

\(\int_S(\overrightarrow{\nabla} x \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{n} dA = \int_{\partial S} \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{dl}\)

Het linker lid moet nog scalair vermenigvuldigd worden met de normaal die je juist moet kiezen. In dit geval is de normaal:

\(-1 * \overrightarrow{1_x}\)

dus krijgt het linkerlid dat jij hebt berekend een ander teken. (http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Stokes)

Ik heb niet alles nagekeken maar volgens mij ligt het hieraan.

Luuk1

Hoi Xenion, bedankt voor je antwoord.

Ik neem in de linkerintegraal eigenlijk niet de integraal over een vector, want de notatie die ik gebruik is iets anders dan die op wikipedia staat. Namelijk

\(d\textbf{a} = \hat{\textbf{n}} da\)

Maar hoe kom je dan aan het minteken? Als ik tegen de klok in ga langs het oppervlakte wijst de normaalvector n toch in de positieve x-richting?

Luuk1

Ik snap het al:

\( \nabla \times \textbf{v} = -(2y) \hat{\textbf{x}} - (3zy)\hat{\textbf{y}} - (x) \hat{\textbf{z}} \)

De x component staat dan inderdaad exact in de andere richting dan de normaal vector

\( \hat{\textbf{n}}\)

Dan is

\( -(2y) \hat{\textbf{x}} \cdot \hat{\textbf{n}} = + 2y\)

Dat zou betekenen dat uit beide integralen + 8/3 komt dus. Nu zei mijn leraar dat uit beide antwoorden - 8/3 moest komen :eusa_whistle:

Phys

Je leraar is correct, althans aannemende dat we - zoals gebruikelijk - de positieve oriëntatie gebruiken. Laten we de schuine lijn inderdaad doorlopen van y=2 naar y=0; je doet juist dan iets fout in je lijnintegraal, niet in je oppervlakteintegraal.

We willen

\(\int_C \mathbf{v}\cdot d\mathbf{\ell}=\int_a^b \mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)dt\)

berekenen, met:

\(\mathbf{v}:\rr^3\to\rr^3:(x,y,z)\mapsto (xy,2yz,3xz)\)

\(\mathbf{r}:[a,b]=[2,0]\to\rr^3:t\mapsto (0,t,2-t)\)

Dan

\(\mathbf{v}\cdot \mathbf{r}'(t)=2t(2-t)\)

, dus

\(\int_C \mathbf{v}\cdot d\mathbf{\ell}=\int_2^0 2t(2-t)dt=-\frac{8}{3}\)

Aangezien we de positieve oriëntatie gebruiken, is de normaalvector in de positieve x-richting gericht: als je de driehoek 'linksom' doorloopt, moet de normaalvector je ogen tegemoet komen. Dus je oorspronkelijke berekening van de oppervlakteintegraal was correct:

Als ik tegen de klok in ga langs het oppervlakte wijst de normaalvector n toch in de positieve x-richting?

Dit klopt.

Xenion

Luuk1 schreef:Hoi Xenion, bedankt voor je antwoord.

Ik neem in de linkerintegraal eigenlijk niet de integraal over een vector, want de notatie die ik gebruik is iets anders dan die op wikipedia staat. Namelijk
\(d\textbf{a} = \hat{\textbf{n}} da\)
Maar hoe kom je dan aan het minteken? Als ik tegen de klok in ga langs het oppervlakte wijst de normaalvector n toch in de positieve x-richting?

Ik ben je notatie niet gewend. Ik werk persoonlijk graag met pijltjes omdat je die makkelijker ziet. Als je met de hand schrijft is het ook lastiger om vectoren in bold te zetten ](*,)

@De normaal: je hebt gelijk, ik vergis mij nogal vaak met de rechterhandregel :eusa_whistle:

Luuk1

Phys, ik neem aan dat je bedoelt:

\(\int_C \mathbf{v}\cdot d\mathbf{\ell}=\int_2^0 2t(2-t)dt=\mathbf{-}\frac{8}{3}\)

Deze manier van het uitrekenen van de lijnintegraal begrijp ik. Maar ik begrijp nog steeds niet waar ik de fout in ga met mijn manier? Als ik in het punt (0,2,0) begin en naar het punt (0,0,2) loop, dan is een klein lijnsegmentje:

\( d\textbf{l} = -(dy) \hat{\textbf{y}} + (dz) \hat{\textbf{z}} \)

Als ik hiervan vervolgens het inproduct van neem met v, kom ik uit op:

\( \textbf{v}\cdot d\textbf{l} = -2yzdy = -2y(2-y)dy\)

, een extra minteken dus :eusa_whistle: . Waar ga ik nou de fout in dan.

Nou ben ik ook in de war geraakt met die oppervlakte integraal. De normaalvector wijst inderdaad in de positieve x-richting. Maar ik had

\( \nabla \times \textbf{v} = -(2y) \hat{\textbf{x}} - (3zy)\hat{\textbf{y}} - (x) \hat{\textbf{z}} \)

Dan is

\( (\nabla \times \textbf{v} ) \cdot \hat{\textbf{n}}dA = +2ydA \)

omdat in dit geval de normaalvector en de vector in de x-richting in tegengestelde richting staan? Dit zou dus schijnbaar -2ydA moeten zijn, waar ga ik hier dan de fout in?

Luuk1

Oke, ik heb beide problemen zelf kunnen oplossen. Ik was in het bovenstaande bericht aan het knoeien :eusa_whistle:

\( (\nabla \times \textbf{v} ) \cdot \hat{\textbf{n}}dA = (\nabla \times \textbf{v} ) \cdot \hat{\textbf{x}}dA = -2ydA \)

Dit leidt dan tot

\(-\frac{8}{3}\)

Dan de lijnintegraal:

\( \textbf{v}\cdot d\textbf{l} = -2yzdy = -2y(2-y)dy\)

Dit klopt, maar ik moet dan integreren van tot 0 tot 2, en niet van 2 tot 0. Zou ik integreren van 2 tot 0, dan wordt mijn dy negatief en dan wordt dl hiermee postiever in de y-richting, terwijl dit zou moeten afnemen. ](*,)

Phys

Phys, ik neem aan dat je bedoelt:

Uiteraard, excuses. Sticht ik alsnog verwarring :eusa_whistle:

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] stokes

[wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes

Re: [wiskunde] stokes