[wiskunde] afleidbaarheid van een functie

aber

Ik heb enkele vragen over de afleidbaarheid van een functie (over een interval of in een punt)

1. Geldt deze bewering?

Afbeelding

2.Geldt de onderstaande bewering ook indien ik [a,b] door ]a,b[?

Wat zijn de gevolgen van deze verandering?

Afbeelding

TD

1) Dat is een kwestie van definitie; wat gebruik je als definitie van "afleidbaarheid" als het dit niet is?

2) Gewoonlijk definieer je de afgeleide op een open interval, wat wil je precies met dat gesloten interval?

aber

1. ik heb niet direct een alternatief

2. In het geval dat men een open interval gebruikt. Dan bestaat de linkerlimiet van f voor x naar a en de rechterlimiet van f voor x naar b (randpunten) toch niet omdat der geen punt is in de linkerbasisomgeving van a en geen punt in de rechterbasisomgeving van b dat tot het domein van f behoort? Of ben ik verkeerd?

TD

1) Om te kunnen zeggen of die equivalentie waar is, heb je natuurlijk wel een definitie van afleidbaarheid nodig! Mijn opmerking was net, dat dit een mogelijke definitie is...

2) In de definitie van "de afgeleide" werk je wellicht met een punt x=a waarbij f gedefinieerd moet zijn op een open omgeving van a. Je kan f afleidbaar noemen op (a,b) als f afleidbaar is voor elke x in dat open interval. Om de afgeleide te definiëren op [a,b], kan je niet anders dan in a enkel de rechterafgeleide te beschouwen en in b enkel de linkerafgeleide.

Phys

1. ik heb niet direct een alternatief

De vraag is: wat is jouw definitie? Je moet ergens van vertrekken.

2. In het geval dat men een open interval gebruikt. Dan bestaat de linkerlimiet van f voor x naar a en de rechterlimiet van f voor x naar b (randpunten) toch niet omdat der geen punt is in de linkerbasisomgeving van a en geen punt in de rechterbasisomgeving van b dat tot het domein van f behoort? Of ben ik verkeerd?

Het lijkt erop dat je gesloten en open niet helemaal door hebt. Als dom(f)=[a,b] dan zit a in dom(f), en ieder punt 'links' van a (kleiner dan a) niet. De linkerlimiet van f voor x naar a bestaat dan niet. Als dom(f)=]a,b[ dan zit a natuurlijk ook niet in dom(f), maar voor ieder punt x in dom(f) zijn er nog punten 'links' van x (kleiner dan x), dat is de definitie van open. In dit geval kun je dus voor iedere x in dom(f) van de linkerlimiet spreken, i.t.t. tot zojuist. Analoge opmerkingen gelden voor b en de rechterlimiet.

Daarom wordt er doorgaans voor open verzamelingen als domein gekozen in de definitie van differentieerbaarheid: voor ieder punt in het domein is er een hele omgeving die nog steeds bevat is in het domein. Deze fijne eigenschap hebben gesloten verzamelingen niet.

aber

1)

2) Ik begrijp ahv jullie uitleg dat het een open interval moet zijn.

Ik werd op het verkeerde been gezet omdat men bij de gemiddelde verandering van een grafiek over een interval, meestal een gesloten interval bv. [a,x] gebruikt. Als ik het goed begrijp ligt dat gesloten interval dan ook in de open omgeving van a. Indien dat niet zo zou zijn, dan kan de limiet van f voor x naar a (en dus ook de afgeleide) nooit bestaan omdat anders de linkerlimiet of de rechterlimiet niet bestaat.

TD

1) dit is een formule, maar bij een formele definitie hoort ook duiding van wat die x en a (mogen) zijn.

2) je kan wel nog spreken van een linker- resp. rechterafgeleide, in randpunten van een interval [a,b].

aber

1) dit is een formule, maar bij een formele definitie hoort ook duiding van wat die x en a (mogen) zijn.

f moet een functie zijn, x en a moeten tot het domein van f behoren

aber

Ik heb nog een vraag ivm met het gebruik van een gesloten interval.

In één van de boek die ik gebruik (Delta reeks) wordt de afgeleide geïntroduceerd aan de hand van

de gemiddelde verandering over een gesloten interval [a, x] op de grafiek van f.

De gemiddelde verandering is dan f(x)-f(a)/x-a. Daarna reduceert men de lengte van het interval tot 0 via de limietstand. Ik vraag mij af waarom er hier dan wel een gesloten interval wordt gebruikt?

TD

De gemiddelde verandering op [a,b] is niets anders dan het verschil in beelden gedeeld door het verschil in argumenten, dat tussen x=a en x=b. De afgeleide is een limiet en tenzij je in een randpunt van je domein zit, is die limiet dus zowel van links als van rechts te nemen.

PS: let op met haakjes (bij je gemiddelde verandering).

aber

Dus ik kan een gemiddelde verandering berekenen van een open interval ]a,b[? Indien ik enkel een gemiddelde varndering van een gesloten interval kan berekenen, krijg ik problemen bij de afgeleide (in randpunten).

PS: let op met haakjes (bij je gemiddelde verandering).

Waarom?

TD

Dus ik kan een gemiddelde verandering berekenen van een open interval ]a,b[? Indien ik enkel een gemiddelde varndering van een gesloten interval kan berekenen, krijg ik problemen bij de afgeleide (in randpunten).

Problemen bij de afgeleide...? Voor de gemiddelde verandering op een interval heb je geen afgeleide nodig.

Waarom?

Je vergeet haakjes. a-b/c-d is niet (a-b)/(c-d).

aber

Problemen bij de afgeleide...? Voor de gemiddelde verandering op een interval heb je geen afgeleide nodig.

Dat weet ik. Ik zal mijn vraag duidelijker stellen: kan ik de gemiddelde verandering meten over een open interval?

TD

Hetzelfde als over het gesloten interval.

aber

Bedankt--

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] afleidbaarheid van een functie

[wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie

Re: [wiskunde] afleidbaarheid van een functie