[wiskunde] supremum

Tudum

Ik snap een stuk van de eigenschappen van het supremum niet. In mijn cursus staat:

Indien een niet-ledige verzameling A
\(\subset\)
R naar boven begrensd is, dan is xi
\(\in\)
R het supremum als en slechts als volgende eigenschappen gelden:

1) Voor alle x element van A geldt dat x =< xi

2) Voor elke epsilon > 0 bestaat er een xepsilon element van A met xi - epsilon < xepsilon.

Die tweede eigenschap snap ik niet.

Ik was het mij aan het voorstellen zoals op onderstaande tekening.

: supremum.jpg (8.41 KiB) 560 keer bekeken

Het stuk dat met A is aangegeven is dan bijvoorbeeld de verzameling A, waarin alle x-en zitten waarvoor geldt dat het supremum gelijk is aan het daar aangegeven supremum.

Maar ik zit volledig vast met wat er met die epsilon bedoeld wordt. Het supremum = xi, dus dat zou ik op de y-as aanduiden. Maar als je dan daarvan epsilon aftrekt, dan moet dat kleiner zijn dan een x? Wat is daar het nut van? Dan zit je op twee verschillende assen te werken?

En dat zorgt er dan ineens voor dat ik ook niet snap wat men met die eigenschap probeert te zeggen...

TD

Welkom op het forum Huiswerk en Practica.

Jij wilt vlot hulp. Dat is alleen goed mogelijk als je daar zelf wat voor doet.

Naast de algemene regels van dit forum hebben we voor dit huiswerkforum een paar speciale regels en tips.

Die vind je in de huiswerkbijsluiter

In die huiswerkbijsluiter staat bijvoorbeeld:

Quote<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[td] VAKGEBIED-TAGS

Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel.

bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.

[/td]</table>

Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zelf aan?[/color]

TD

In woorden: als je het supremum verkleint (door er een willekeurig kleine positieve epsilon van af te trekken), dan is er altijd minstens een element uit je verzameling groter dan dit verkleinde supremum. Het illustreert dat er elementen uit A willekeurig dicht bij het supremum liggen en dat je het supremum niet kan verkleinen (om supremum te blijven natuurlijk...), het is dan ook de kleinst mogelijke bovengrens.

Safe

Neem op een getallenlijn R een deel naar boven begrensd, kies grens xi

Ga eig 1 na

Kies epsilon>0 vanuit xi naar links

Ga eig 2 na.

Tudum

TD schreef:
Quote<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[td] VAKGEBIED-TAGS

Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel.

bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.

[/td]</table>
Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zelf aan?[/color]

Ow, dat was ik volledig vergeten... Sorry!

In woorden: als je het supremum verkleint (door er een willekeurig kleine positieve epsilon van af te trekken), dan is er altijd minstens een element uit je verzameling groter dan dit verkleinde supremum. Het illustreert dat er elementen uit A willekeurig dicht bij het supremum liggen en dat je het supremum niet kan verkleinen (om supremum te blijven natuurlijk...), het is dan ook de kleinst mogelijke bovengrens.

Ah, dat maakt al veel duidelijker, bedankt!

Maar dan zou ik verwachten dat er een f(x) groter is dan xi - epsilon, en niet x... Al klopt er daarbij dan ook weer iets niet, want in mijn nota's staat ergens dat het supremum niet altijd bereikt wordt, met daarbij dezelfde tekening als die in mijn eerste post, maar waarbij de functie niet continu is op de top, en het punt dat normaal het supremum zou zijn een stukje lager ligt. En toch blijft dat het supremum (tenzij ik verkeerde dingen heb genoteerd).

Het supremum is niet het maximum, en niet eentje hoger dan het maximum of zo... hoe moet je dan weten wat het supremum is? Het punt dat het maximum zou zijn als de functie continu was of zo?

TD

Maar dan zou ik verwachten dat er een f(x) groter is dan xi - epsilon, en niet x...

Ik weet niet waarom je met x'en en f(x)'en in je hoofd zit, het gaat hier niet om een functie maar om een verzameling van getallen. Allemaal "x'en", zou je kunnen zeggen... Of allemaal f(x)'en, als je de verzameling van beelden van een of andere functie beschouwt.

Het supremum is niet het maximum, en niet eentje hoger dan het maximum of zo... hoe moet je dan weten wat het supremum is? Het punt dat het maximum zou zijn als de functie continu was of zo?

Laat functie even weg en hou het voorlopig gewoon bij verzamelingen van getallen.

Bijvoorbeeld, de verzameling A = {1,2,6,7}. Hier geldt max(A) = sup(A) = 7. Als het maximum (grootste element) van een verzameling bestaat, dan is dit gelijk aan het supremum. Voor de eenvoud ga ik over naar intervallen van reële getallen; bijvoorbeeld B = [0,1]. Ook hier geldt max(B) = sup(B) = 1.

Maar kijk nu eens naar het halfopen interval C = [0,1), ook wel [0,1[ genoteerd. Nu zit 1 niet in de verzameling. Deze verzameling heeft geen maximum (een "maximum" moet een element van de verzameling zijn!), maar je voelt dat 1 wel nog steeds een speciale rol speelt. Je kan geen kleiner getal vinden waar alle getallen uit C onder blijven. We noemen dit getal het supremum, dat hoeft dus niet per se zelf element van C te zijn. Het is de "kleinste bovengrens" en valt samen met het maximum, indien dit laatste bestaat.

Tudum

Safe schreef:Neem op een getallenlijn R een deel naar boven begrensd, kies grens xi

Ga eig 1 na

Kies epsilon>0 vanuit xi naar links

Ga eig 2 na.

Hmm... Dat klopt

Maar als je dan een functie hebt, moet je dan kijken naar de maximale x-waarde (wat ook niet klopt volgens mijn nota's, maar 'k weet niet hoe het anders te zeggen), of naar de maximale y-waarde? En als je een verzameling met drie dimensies hebt, moet je dan naar de z-waarde gaan kijken?

Bedankt voor uw reactie!

Tudum

TD schreef:Ik weet niet waarom je met x'en en f(x)'en in je hoofd zit, het gaat hier niet om een functie maar om een verzameling van getallen. Allemaal "x'en", zou je kunnen zeggen... Of allemaal f(x)'en, als je de verzameling van beelden van een of andere functie beschouwt.

Laat functie even weg en hou het voorlopig gewoon bij verzamelingen van getallen.

Bijvoorbeeld, de verzameling A = {1,2,6,7}. Hier geldt max(A) = sup(A) = 7. Als het maximum (grootste element) van een verzameling bestaat, dan is dit gelijk aan het supremum. Voor de eenvoud ga ik over naar intervallen van reële getallen; bijvoorbeeld B = [0,1]. Ook hier geldt max(B) = sup(B) = 1.

Maar kijk nu eens naar het halfopen interval C = [0,1), ook wel [0,1[ genoteerd. Nu zit 1 niet in de verzameling. Deze verzameling heeft geen maximum (een "maximum" moet een element van de verzameling zijn!), maar je voelt dat 1 wel nog steeds een speciale rol speelt. Je kan geen kleiner getal vinden waar alle getallen uit C onder blijven. We noemen dit getal het supremum, dat hoeft dus niet per se zelf element van C te zijn. Het is de "kleinste bovengrens" en valt samen met het maximum, indien dit laatste bestaat.

Ah... Dus die eigenschappen gaan gewoon over een verzameling getallen van één dimensie? En de verzameling A gaat dan niet over de x-waarden waarvan er y-waarden zijn waarvan je het supremum moet zoeken?

Dus al er een verzameling gegeven is die gaat van 0 tot 10, en het gaat bv. over de functie van mijn eerste post, en de top van die functie ligt op 11, dan is 10 het supremum? Omdat die verzameling dan over de y-waarden gaat, en niet over de x-waarden?

Of snap ik het weer niet?

TD

Ah... Dus die eigenschappen gaan gewoon over een verzameling getallen van één dimensie? En de verzameling A gaat dan niet over de x-waarden waarvan er y-waarden zijn waarvan je het supremum moet zoeken?

Kijk naar je eigen quote in je eerste bericht: A is een deelverzameling van de reële getallen, dus zelf ook een verzameling van reële getallen.

Dus al er een verzameling gegeven is die gaat van 0 tot 10, en het gaat bv. over de functie van mijn eerste post, en de top van die functie ligt op 11, dan is 10 het supremum? Omdat die verzameling dan over de y-waarden gaat, en niet over de x-waarden?

Als je cursus het over functiewaarden heeft en het maximum/supremum van een functie, gaat het waarschijnlijk over de verzameling van de functiewaarden.

Tudum

Kijk naar je eigen quote in je eerste bericht: A is een deelverzameling van de reële getallen, dus zelf ook een verzameling van reële getallen.

Dus gaat het over de verzameling van reële getallen, met één dimensie? Dus niet twee dimensies zoals bij een functie, want dan zou het R² moeten zijn of zo? Of begrijp ik het weer niet? ](*,)

Als je cursus het over functiewaarden heeft en het maximum/supremum van een functie, gaat het waarschijnlijk over de verzameling van de functiewaarden.

Dus wat ik zei in het stukje in de quote was wel juist? Of niet?

Bedankt voor uw reactie :eusa_whistle:

TD

Dus gaat het over de verzameling van reële getallen, met één dimensie? Dus niet twee dimensies zoals bij een functie, want dan zou het R² moeten zijn of zo? Of begrijp ik het weer niet? :eusa_whistle:

In de definitie die je zelf aanhaalde (ik vermoed uit je cursus), heb je het over het supremum van een verzameling A, deelverzameling van de reële getallen. Dus geen functie, geen R², een verzameling getallen uit R.

Dus wat ik zei in het stukje in de quote was wel juist? Of niet?

Ik begrijp niet goed wat je daar wou zeggen. Stel dat die paraboolachtige kromme zijn top bereikt in 10. Als je die top weghaalt en legt op 11, dan is 11 het maximum en dus ook het supremum. Als je de top naar beneden haalt maar de rest van de functie zo laat, is er geen maximum meer. Er is wel een supremum, dat is dan 10.

Tudum

Ik denk dat ik het snap :eusa_whistle:

Bedankt voor het antwoord!

(en sorry voor de late reactie)

TD

Oké, graag gedaan!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] supremum

[wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum

Re: [wiskunde] supremum