\( y''(t)+4ty'(t)+4y(t)=0\)
. Nu wordt er bij (a) gevraagd, Bepaal van de twee lineair onafhankelijke oplossingen de machtreeksontwikkeling
rond x = 0. Laat zien dat een van de machtreeks-oplossingen gelijk aan
\(y_1(t) = e^{-2t^2}\)
is.Dit is me gelukt.
Bij (b) wordt er nu gevraagd een tweede expliciete oplossing te vinden met de methode van "variatie van constante". Ik dacht echter dat deze methode bedoelt was om, gegeven de oplossingen van een homogene diff. verg., een particuliere oplossing te vinden van een inhomogene vergelijking.
Ik heb
\(y(t) = v(t)e^{-2t^2}\)
geprobeerd, maar hieruit leid je een minstens zo lastige diff. verg. voor v(t) af. Een misschien voordehand-liggende functie om te proberen is
\( y(t)=te^{-2t^2}\)
, maar die komt ook net niet uit. Ik hoopte misschien door te zoeken naar een tweede machtreeks oplossing een idee in de goeie richting te krijgen. Ik kwam hierbij uit op:
\( y_2(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nt^{2n+1}}{3\cdot 5 \cdots (2n+1)} \)
Hier weet ik echter geen expliciete term in te zien.Kan iemand mij een beetje de goeie richting in sturen?
