[Wiskunde] Voortbrengers en basis (bewijs)

Graag had ik wat hulp gehad met volgend bewijs.

Als V een n-dimensionale vectorruimte is, en S = {v₁, ..., v_n} een voortbrengende verzameling van V is, dan is S een basis.

Ik dacht dit als volgt te doen:

Stel e₁, ..., e_n is een basis van V. Nu wil ik telkens een e_i uitwisselen tegen een v_i.

=> v₁ = a₁e₁ + ... + a_ne_n

Nu zou ik moeten kunnen aantonen dat v₁ niet de nulvector is, maar hoe?
Of is er een betere manier?

Alvast bedankt.

Nu zou ik moeten kunnen aantonen dat v₁ niet de nulvector is, maar hoe?

Als v₁=0, dan is v₁ ook voort te brengen uit v₂ t/m v_n dus kun je hem wel uit het stelsel weglaten. Maar in dat geval zou {v₂,..,v_n} een basis voor S zijn, en dat zijn n-1 elementen, wat in tegenspraak is met het gegeven dat S een n-dimensionale vectorruimte is.

Dus het komt er dan op neer dat je moet inzien dat n vectoren een vectorruimte van maximaal dimensie n kunnen opspannen?

Gewoon even luidop denken.. n vectoren zijn ofwel linear afhankelijk ofwel linear onafhankelijk. In het eerste geval kan ik de verzameling vectoren reduceren tot een lin onafh stelsel van max n vectoren. In het tweede hebben we n vectoren. Dus de vectorruimte heeft maximaal dimensie n.

Sounds good, bedankt voor de hulp!!