Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)

Cerium

Hallo,

Ik ben een bewijs tegengekomen van de stelling in de topictitel waar ik het niet mee eens ben. Het boek dat ik gebruik stelt het volgende:

Stel dat A (een vierkante matrix) inverteerbaar is, dan is A rijequivalent met de eenheidsmatrix (In). Dat betekent dat je op de eenheidsmatrix een reeks rijoperaties kunt uitvoeren om A te bekomen en stel dat je p rijoperaties moet uivoeren om A te bekomen. Dat betekent ook dat je de eenheidsmatrix achtereenvolgens kan vermenigvuldigen met p elementaire matrices die corresponderen met de overeenkomstige rijoperaties:

A = Ep . Ep-1. ... . E1 . In

= Ep ... E1

Nu kunnen we de determinant van A.B uitrekenen:

det(AB) = |AB| = |Ep . Ep-1. ... . E1 . B| = |Ep||Ep-1 ... E1 B| = |Ep| ... |E1| |B|

Tot hier kan ik het bewijs goed volgen. Maar dan stellen ze dat het bovenstaande gelijk is aan:

|Ep ... E1| |B| = |A||B|

In mijn ogen maak je gebruik van de stelling die je aan het bewijzen bent door te zeggen dat

|Ep| ... |E1| = |Ep ... E1|

Of is er misschien iets dat ik over het hoofd zie? Want ik kan echt niets bedenken wat de laatste stap in het bewijs kan verantwoorden.

Alvast bedankt

stoker

die elementaire rij-operatiematrixen hebben enkele speciale eigenschappen die waarschijnlijk al bewezen staan in je cursus vóór het bewijs van det(a.b) = det(a) . det(b) ?

Phys

Cerium schreef:|Ep . Ep-1. ... . E1 . B| = |Ep| ... |E1| |B|

Tot hier kan ik het bewijs goed volgen. Maar dan stellen ze dat het bovenstaande gelijk is aan:

|Ep ... E1| |B|

Volgens mij doen ze hier niets nieuws, ze doen hier toch hetzelfde als in de stap waar je het mee eens was? (let op de manier waarop ik je heb geciteerd)

Cerium

Nu er wat tijd over gegaan is zie ik inderdaad dat ze niks mis doen. De determinant van een vermenigvuldiging van elementaire matrices is immers gelijk aan de vermenigvuldiging van de determinanten van die elementaire matrices. Het bewijs steunt zelfs op het feit dat dit voor elementaire matrices zeer makkelijk in te zien valt. Bedankt voor jullie antwoorden!

Phys

Het bewijs steunt zelfs op het feit dat dit voor elementaire matrices zeer makkelijk in te zien valt. Bedankt voor jullie antwoorden!

Precies; dat gebeurde in de eerste stap reeds, waar je het mee eens was.

Graag gedaan :eusa_whistle:

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)

Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)

Re: Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)

Re: Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)

Re: Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)

Re: Bewijs det(a.b) = det(a) . det(b)