Van proces naar formule

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 30-10-'09, 12:51

Jan van de Velde

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.271

Van proces naar formule

In het huiswerkforum raakt dit probleem niet bevredigend beantwoord:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?s...117298&st=0
Een goed geroerd vat van 150 L is gevuld met 100 L (V) water met daarin opgelost een kleurstof met een beginconcentratie ( C0 ) van 1 mol/L. Op t = 0 wordt water via een toevoerleiding aan het vat toegelaten met een volumedebiet (Q) van 10 L/s. tegelijkertijd wordt een afvoerklep geopend en stroomt er 10 L/s (zelfde Q)vloeistof uit het vat. Bereken hoelang het duurt opdat de concentratie kleurstof in het vat tot 0.01 mol/L (Ct) gedaald is.
met wat prutsen met een iteratieve benadering in Excel, serendipisch tot de conclusie komen dat er een logaritmisch verloop in zit en vervolgens via educated guesses wat invullen in rekenmachine komen we voor dit proces tot deze uiteindelijke formule:
\( C_t = C_0 \cdot e^{-\frac{Q}{V}\cdot t} \)
De vraag is nu: hoe bereik je deze formule door een wiskundiger benadering van het probleem?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
Omhoog

Bericht 30-10-'09, 13:30

stoker

Berichten: 2.746

Re: Van proces naar formule

uit de vraagstelling kan je een differentiaalvergelijking halen. De oplossing daarvan is die exponentiele.
Omhoog

Bericht 30-10-'09, 13:36

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Van proces naar formule

Noem X de hoeveelheid kleurstof in het vat. Dan is de verandering van X:
\(\frac{dX(t)}{dt}=-C(t)Q\)
,

en aangezien C=X/V, en V constant is:
\(\frac{dC(t)}{dt}=-\frac{Q}{V}C(t)\)
,

met de oplossing die je zelf al neerschreef.
Omhoog

Bericht 30-10-'09, 16:08

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Van proces naar formule

Zelfde insteek net anders opgeschreven (ik denk dat het afleidingsproces hierdoor duidelijker wordt):

Ik noem
\(X(t)\)
de hoeveelheid opgeloste stof op tijdstip t. Stel dat gedurende een korte tijd (
\(\Delta t\)
) de concentratie nagenoeg gelijk blijft. Dan kunnen we voor de hoeveelheid opgeloste stof over dat kleine tijdje schrijven:
\(X(t + \Delta t) = X(t) - C(t) \cdot Q \cdot \Delta t\)
waarbij
\(C(t)\)
de concentratie is. Dit is te schrijven als:
\(X(t + \Delta t) - X(t) = - C(t) \cdot Q \cdot \Delta t\)
\(\frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t} = - C(t) \cdot Q\)
\(\frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t} = - \frac{X(t)}{V} \cdot Q = - \frac{Q}{V} \cdot X(t)\)
Hiervan de limiet bekijken van
\(\Delta t \rightarrow 0\)
:
\(\frac{dX(t)}{dt} = - \frac{Q}{V} \cdot X(t)\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”