De absolute waarde van een som is kleiner dan de som van de absolute waarden...
Is dit hetzelfde als de driehoeksongelijkheid?
Hoe begin je anders aan dit soort bewijs?
Laatste berichten
-
22:54
Herleiden afmetingen vanaf een foto 12
-
18:53
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18:09
Rotatie van het heelal 32
-
17:19
Ervaringen met "herontdekkingen" 12
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
18 apr
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] absolute waarde
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.390
[wiskunde] absolute waarde
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] absolute waarde
Ja (voor twee termen althans).In fysics I trust schreef:De absolute waarde van een som is kleiner dan de som van de absolute waarden...
Is dit hetzelfde als de driehoeksongelijkheid?
Door herhaaldelijk de driehoeksongelijkheid toe te passen.Hoe begin je anders aan dit soort bewijs?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] absolute waarde
Dus eerst de ongelijkheid van Cauchy bewijzen en daaruit de driehoeksongelijkheid afleiden (met vectoren dus) en vervolgens zeggen dat R zelf ook een vectorruimte is en dat bijgevolg ook geldt:
|x+y|=<|x|+|y|
Is het dat?
Nogmaals bedankt!
|x+y|=<|x|+|y|
Is het dat?
Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] absolute waarde
Waar heb je vectorruimte voor nodig? De driehoeksongelijkheid is te bewijzen vanuit Cauchy-Schwartz, of gewoon vanuit eigenschappen van de absolute waarde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] absolute waarde
... of gewoon vanuit eigenschappen van de absolute waarde.
Hoe dat zo?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] absolute waarde
Je hebt sowieso -|x| < x < |x| en zo ook voor y. Tel die uitdrukkingen eens lid aan lid op.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] absolute waarde
Je hebt het over de absolute waarde, normaal werkt men dan in R of C (in algemene vectorruimten heet het een norm). Ik neem aan dat de absolute waarde (voor R of C) al bewezen is in je cursus, zo niet kan dat bijna triviaal uit de definitie zoals TD zegt. Voor de Euclidische norm
Als je eenmaal weet dat
\(\|x\|=\sqrt{\sum_i x_i^2}\)
kan de driehoeksongelijkheid inderdaad uit Cauchy-Schwartz worden bewezen. Graag iets duidelijker zijn over de opgave.Als je eenmaal weet dat
\(|x+y|\leq|x|+|y|\)
, dan kun je dit met inductie uitbreiden naar willekeurige eindige sommen \(|a_1+...+a_n|\leq |a_1|+...+|a_n|\)
.Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] absolute waarde
Ik vermoed dat het over :eusa_whistle: gaat, dat de absolute waarde |x| gedefinieerd is en dat de driehoeksongelijkheid (eenvoudigste vorm, zoals in woorden gegeven in het startbericht) te bewijzen valt. Dat kan met Cauchy-Schwartz (zoals reeds gezegd), maar het kan ook zonder.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] absolute waarde
Opnieuw bedankt allemaal!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] absolute waarde
Is het gelukt om de driehoeksongelijkheid zo te bewijzen, eventueel zonder Cauchy-Schwartz?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] absolute waarde
Ik dacht aan dit:
-(x+y)<=|x+y|<=(x+y) eigenschap absolute waarde
-x<=|x|<=x
-y<=|y|<=y
------------
-(x+y)<=|x|+|y|<=x+y
en dat lukt niet verder ;-(
Maar op http://hhofstede.nl/paradoxen/driehoeksongelijkheid.htm
heb ik wel een meetkundige interpretatie gevonden.
Ik kan het nu dus:
1) meetkundig aantonen
2) via Cauchy-Schwartz aantonen
3) nog steeds niet gewoon via de eigenschappen van absolute waarde...
-(x+y)<=|x+y|<=(x+y) eigenschap absolute waarde
-x<=|x|<=x
-y<=|y|<=y
------------
-(x+y)<=|x|+|y|<=x+y
en dat lukt niet verder ;-(
Maar op http://hhofstede.nl/paradoxen/driehoeksongelijkheid.htm
heb ik wel een meetkundige interpretatie gevonden.
Ik kan het nu dus:
1) meetkundig aantonen
2) via Cauchy-Schwartz aantonen
3) nog steeds niet gewoon via de eigenschappen van absolute waarde...
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] absolute waarde
Je moet wel de reacties/hints hier lezen:In fysics I trust schreef:Ik dacht aan dit:
-x<=|x|<=x
-y<=|y|<=y
------------
Je hebt sowieso -|x| < x < |x| en zo ook voor y. Tel die uitdrukkingen eens lid aan lid op.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] absolute waarde
Die strikte ongelijkheden
Je kunt |x+y|<=|x|+|y| nog directer uit de definitie bewijzen. Als x=0 of y=0 is het triviaal. Er zijn nu vier mogelijkheden
1) x>0,y>0
2) x<0,y<0
3) x>0,y<0
4) x<0,y>0
Vanwege symmetrie in x en y van de driehoeksongelijkheid hoef je maar één van 3) en 4) te behandelen.
Geval 1 en 2 zijn heel eenvoudig, daar geldt zelfs gelijkheid. Geval 3 (of 4) is net ietsje meer werk.
\(<\)
van TD hierboven moeten natuurlijk niet-strikt \(\leq\)
zijn :eusa_whistle: Je kunt |x+y|<=|x|+|y| nog directer uit de definitie bewijzen. Als x=0 of y=0 is het triviaal. Er zijn nu vier mogelijkheden
1) x>0,y>0
2) x<0,y<0
3) x>0,y<0
4) x<0,y>0
Vanwege symmetrie in x en y van de driehoeksongelijkheid hoef je maar één van 3) en 4) te behandelen.
Geval 1 en 2 zijn heel eenvoudig, daar geldt zelfs gelijkheid. Geval 3 (of 4) is net ietsje meer werk.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] absolute waarde
Moeten inderdaad niet-strikt zijn; je hebt dus:
-|x| :eusa_whistle: x
|x|
-|y| y ](*,) |y|
------------------
-(|x|+|y|) ](*,) x+y
|x|+|y|
Maar wat betekent dit...? Het is van de vorm: "-a b a".
-|x| :eusa_whistle: x
|x|-|y|
y ](*,) |y|------------------
-(|x|+|y|) ](*,) x+y
|x|+|y|Maar wat betekent dit...? Het is van de vorm: "-a
b a"."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] absolute waarde
@Phys:
Stel a>0 en b<0,
Dan geldt:
a=|a| (volgt uit definitie absolute waarde)
b<|b| (volgt uit definitie absolute waarde)
---------------------------------------------
a+b<|a|+|b|
a+b=|a+b|
en dus ook:
|a+b|<|a|+|b|
2. Zij a+b<0
Dan geldt:
a+b<|a+b|
Maar waarom is in dit geval ook |a+b|<|a|+|b| geldig?
@TD:
De absolute waarde voldoet hieraan, maar mag je hier ook uit besluiten dat |a+b|<|a|+|b| geldt?
Nogmaals bedankt voor jullie moeite!
Stel a>0 en b<0,
Dan geldt:
a=|a| (volgt uit definitie absolute waarde)
b<|b| (volgt uit definitie absolute waarde)
---------------------------------------------
a+b<|a|+|b|
- Zij a+b>=0
a+b=|a+b|
en dus ook:
|a+b|<|a|+|b|
2. Zij a+b<0
Dan geldt:
a+b<|a+b|
Maar waarom is in dit geval ook |a+b|<|a|+|b| geldig?
@TD:
De absolute waarde voldoet hieraan, maar mag je hier ook uit besluiten dat |a+b|<|a|+|b| geldt?
Nogmaals bedankt voor jullie moeite!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
