[wiskunde] matrices en vectorruimten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 03-11-'09, 22:57

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

[wiskunde] matrices en vectorruimten

Er geldt:

1) Mm,n
\((\kk)\)
is een vectorruimte.

en:

2) [.]F,E: Hom
\((\kk)\)
(V,W) :eusa_whistle: Mm,n
\((\kk)\)
is een isomorfisme.

1) Om de vectorruimte te bewijzen: moet je dan alle eigenschappen van een vectorruimte aantonen:

associativiteit, commutativiteit, neutr. el. bij optellen, tegengesteld el. bij optellen

gemengde ass. bij scalaire vermenigvuldiging, distributiviteit, neutraal el. bij scalaire vermenigvuldiging?

Of bestaat er een criterium waardoor je dit kan herleiden tot enkele eigenschappen (zoals bij een criterium voor een deelruimte)?

2)Als ik het goed begrijp, moet ik dus aantonen dat de afbeelding die een functie afbeeldt op zijn matrix een isomorfisme is?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 03-11-'09, 23:06

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] matrices en vectorruimten

In fysics I trust schreef:Er geldt:

1) Mm,n
\((\kk)\)
is een vectorruimte.

en:

2) [.]F,E: Hom
\((\kk)\)
(V,W) :eusa_whistle: Mm,n
\((\kk)\)
is een isomorfisme.
Ik neem aan dat Mm,n
\((\kk)\)
de ruimte der mxn-matrices over het lichaam K is, en dat [.]F,E de functie is die een lineaire afbeelding afbeeldt op zijn matrix ten opzichte van de (gegeven) bases F en E.
1) Om de vectorruimte te bewijzen: moet je dan alle eigenschappen van een vectorruimte aantonen:

associativiteit, commutativiteit, neutr. el. bij optellen, tegengesteld el. bij optellen

gemengde ass. bij scalaire vermenigvuldiging, distributiviteit, neutraal el. bij scalaire vermenigvuldiging?

Of bestaat er een criterium waardoor je dit kan herleiden tot enkele eigenschappen (zoals bij een criterium voor een deelruimte)?
In principe moet je inderdaad al die eigenschappen aantonen. Echter, bijna alles is evident, want je weet vanalles over matrices: hoe je ze optelt, hoe je ze vermenigvuldigt met een scalar, etc.
2)Als ik het goed begrijp, moet ik dus aantonen dat de afbeelding die een functie afbeeldt op zijn matrix een isomorfisme is?
Jazeker. Je moet dus aantonen dat het een bijectieve lineaire afbeelding is.

Ik zou zeggen, doe een poging, dan helpen wij je wel op weg.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 03-11-'09, 23:22

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] matrices en vectorruimten

Met 1) red ik het nu wel.

Nu nog 2):

=> de afbeelding is een homomorfisme:

Dit klopt, en kunnen we verklaren door de manier waarop de scalaire vermenigvuldiging van matrices is gedefinieerd.

=> de afbeelding is bijectief

Dit komt door de manier waarop de matrix A is gedefinieerd: in de i'de kolom staan de coördinaten van het beeld van de i'de basisvector ten opzichte van de basis van de aankomstruimte. Aangezien coördinaten uniek zijn, omdat een vector steeds op één unieke manier kan geschreven worden tov de coördinaten van zijn basis, is de bijectiviteit bewezen.

Is dit in orde?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 04-11-'09, 00:20

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] matrices en vectorruimten

In fysics I trust schreef:=> de afbeelding is een homomorfisme:

Dit klopt, en kunnen we verklaren door de manier waarop de scalaire vermenigvuldiging van matrices is gedefinieerd.
Dit verklaart dat [c.f]F,E=c.[f]F,E voor scalairen c. Vergeet additiviteit niet:

[f+g]F,E=[f]F,E+[g]F,E. Dit berust (uiteraard) op de manier waarop optelling van matrices is gedefinieerd.
=> de afbeelding is bijectief

Dit komt door de manier waarop de matrix A is gedefinieerd: in de i'de kolom staan de coördinaten van het beeld van de i'de basisvector ten opzichte van de basis van de aankomstruimte. Aangezien coördinaten uniek zijn, omdat een vector steeds op één unieke manier kan geschreven worden tov de coördinaten van zijn basis, is de bijectiviteit bewezen.

Is dit in orde?
Ja hoor, dit is de verklaring in woorden. Ik weet niet in hoeverre je een formeel bewijs moet geven, maar hiermee geef je aan dat je het begrijpt!
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”