[wiskunde] vind een basis...

In physics I trust

We moeten een basis vinden voor

\(\rr _3\)

[X] waarvoor geldt dat P(1)=0.

Ik heb er één gevonden: X^3-1, X²-1, X-1,

maar dat is op het zicht...

Hoe ga je systematisch tewerk om een basis te vinden voor een vectorruimte?

Nogmaals bedankt!

TD

Je zou kunnen vertrekken van een basis voor dezelfde ruimte (in graad), maar zonder die extra voorwaarde; pas dan de basisvectoren aan - van val je eigenlijk terug op jouw keuze.

Je kan in plaats van de standaardbasis {1,x,x²,x³} ook x vervangen door x-1 (opdat P(1) = 0 voor elke basisvector, dus ook voor elke lineaire combinatie), je krijgt dan het stel {1,x-1,(x-1)²,(x-1)³}, hieruit moet je uiteraard 1 weglaten omdat deze niet aan de voorwaarde voldoet.

Phys

We moeten een basis vinden voor
\(\rr _3\)
Je kan in plaats van de standaardbasis {1,x,x²,x³} ook x vervangen door x-1 (opdat P(1) = 0 voor elke basisvector, dus ook voor elke lineaire combinatie), je krijgt dan het stel {0,x-1,(x-1)²,(x-1)³}, hieruit moet je uiteraard 0 weglaten om basis te kunnen zijn.
Jij hebt ook een basis van drie vectoren voor een vier-dimensionale ruimte? :eusa_whistle:

Waarom zou 1 --> 0 als x--> x-1?

TD

Probeer je opgaven correct te formuleren, zodat wij zo weinig hoeven te raden. Je kunt niet over P spreken zonder te zeggen wat P is. In dit geval blijkbaar een willekeurige basisvector.

P zal staan voor een element uit de ruimte; het gaat volgens mij dus om de ruimte R3[X] waarbij ook nog voldaan moet zijn aan P(1) = 0; vandaar ook geen vierdimensionale ruimte.

Phys

P zal staan voor een element uit de ruimte; het gaat volgens mij dus om de ruimte R3[X] waarbij ook nog voldaan moet zijn aan P(1) = 0; vandaar ook geen vierdimensionale ruimte.

Aha, onze interpretaties verschillen dus.

In dit geval blijkbaar een willekeurige basisvector.

:eusa_whistle:

TD

Phys schreef:Jij hebt ook een basis van drie vectoren voor een vier-dimensionale ruimte? :eusa_whistle:

Waarom zou 1 --> 0 als x--> x-1?

Dat is een foutje, die 1 moet inderdaad niet naar 0; maar verdwijnt wel uit de basis want voldoet niet aan P(1) = 0; aangepast.

In physics I trust

P stond voor veelterm (uit het Engels). Ik had dat idd moeten verklaren, maar in de cursus stond dat dat een algemeen aanvaarde notatie is.

Is het mogelijk om voor een 4-dimensionale ruimte 3 basiselementen te kiezen (lijkt me vreemd, maar lijkt toch te kloppen)?

TD

De ruimte is driedimensionaal, de dimensie is immers gelijk aan het aantal basisvectoren.

In physics I trust

Ja, idd, dat biedt de verklaring!

{x-1,(x-1)²,(x-1)³} en {1,x-1,x²-1,x³-1} zijn beide correct?

TD

In fysics I trust schreef:Ja, idd, dat biedt de verklaring!

{x-1,(x-1)²,(x-1)³} en {1,x-1,x²-1,x³-1} zijn beide correct?

De rode 1 is er te veel aan. Het begrip "dimensie" is net goed gedefinieerd omdat het aantal basisvectoren onafhankelijk is van de gekozen basis... Bovendien zou die basisvector ook niet voldoen aan de voorwaarde P(1) = 0.

In physics I trust

OK, ik begrijp nu wel wat jullie uitgelegd hebben, maar voor een soortgelijke opgave zit ik opnieuw vast:

bepaal een basis voor de veeltermen die voldoen aan P'(1)=0

Ik redeneer als volgt:

een algemene veelterm is van de vorm:

P(x)=ax³+bx²+cx+d

Nu ga ik voorwaarden genereren op de coëfficiënten:

P'(x)=3ax²+2bx+c

P'(1)=3a+2b+c=0

Hoe geraak ik nu van deze voorwaarde naar een basis (we werken nog steeds in

\(\rr _3\)

[X])?

TD

Je zou opnieuw van een basisvector uit de standaardbasis kunnen vertrekken, xⁿ. Als je de afgeleide hiervan neemt, heb je nx^n-1, in x=1 is dat n. Je wil 0, dus hier moet nog n van afgetrokken worden, of - voor het afleiden - nx. Dus een "goede basisvector" is xⁿ-nx. Voor welke waarden van n heb je basisvectoren voor deze ruimte?

Phys

\\half offtopic:

P stond voor veelterm (uit het Engels). Ik had dat idd moeten verklaren, maar in de cursus stond dat dat een algemeen aanvaarde notatie is.

Het probleem was niet dat P voor een veelterm (polynoom) stond, maar de (mijn) vraag was of het een veelterm uit je basis of een veelterm uit de gehele ruimte voorstelde. Maar goed, dat is nu duidelijk :eusa_whistle:

In physics I trust

Erg duidelijk uitgelegd :eusa_whistle: .

Basisvectoren zijn dus zeker al (3-dimensionaal):

x³-3x, x²-2x

Ik denk dat we er nog een 1 aan moeten toevoegen, omdat de constante term uit de veelterm willekeurig mag genomen worden omdat de veelterm afgeleid wordt?

Dus:

x³-3x, x²-2x,1

Is dit correct?

TD

Dat klopt, die "1" vind je ook door n = 0 te nemen. Merk op dat n = 1 gewoon 0 geeft, dat kan geen basisvector zijn.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] vind een basis...

[wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...

Re: [wiskunde] vind een basis...