Lang geleden dat ik hier nog eens gepost had, hierbij ben ik er dus weer. :eusa_whistle:
Het gaat over de volgende vraag:
Zij
\(\textbf{B = \{ 1, 2, 3, 4 \}}\)
en \(V\)
de verzameling van alle afbeeldingen \(\textbf{f}\)
van \(\textbf{B}\)
naar \(\textbf{\mathbb{Q}}\)
met volgende voorwaarde:\( \textbf{f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0} \)
.[/b](i) Toon aan dat V een Q-vectorruimte is, driedimensionaal is en geef een basis voor V.
Voor het eerste dacht ik het volgende:
Aangezien alle afbeeldingen, afbeeldingen zijn naar Q, erven zij de eigenschappen van de optelling in Q over, waarmee aan de voorwaarde van de Abelse groep voor de optelling voldaan wordt.
De vermenigvuldiging met scalairen van Q en de distributiviteit volgt volgens mij ook gewoon uit het feit dat de afbeeldingen naar Q zijn?
Vervolgens zit ik een beetje vast op het aantonen dat de vectorruimte als dimensie 3 heeft.
Ik ben zo stout geweest om even bij de korte oplossing te gaan spieken en daar staat iets dat ik niet meteen kan vatten:
Definieer voor iedere
\(1 \leq i \leq 4, i \in \mathbb{N}\)
de volgende afbeelding:\(\sigma_i : B \rightarrow \mathbb{Q} : j \mapsto \delta_{ij}.\)
Waarbij \(\delta_{ij}\)
deKrönecker delta is.Vervolgens zeggen ze dat
\(\{ \sigma_1 - \sigma_4, \sigma_2 - \sigma_4, \sigma_3 - \sigma_4 \}\)
een basis is voor de vectorruimte V. Waaruit je natuurlijk kan concluderen dat de dimensie 3 is.Mijn vraag is nu: Als je zo'n afbeelding definieert (en ik veronderstel dan dat die afbeeldingen afbeeldingen f kunnen zijn vanuit de opgave??) dan voldoen deze afbeeldingen toch niet aan de voorwaarde die eerder gesteld was?
Er zal door die Kronecker delta als i = j 1 uitkomen... i.p.v. 0 bij de voorwaarde??
Waarschijnlijk zie ik het wel helemaal fout, maar moest er iemand de juiste manier zien, laat het even weten. ](*,)
Vervolgens snap ik dan ook niet waarom de door hen gegeven basis een basis is voor V.
Groetjes
Overdruk
