Rij equivalente matrices

De oplossingenverzameling van een stelsel AX=B verandert niet door [A|B] te rij-reduceren naar [C|D].

Hoe bewijs je (dus geen intuïtieve verklaring, maar wel wiskundig onderbouwd) dat de rij/kolom-operaties niets veranderen aan de oplossingenverzameling?

Ik dacht eraan om iets te stellen in de stijl van: door een elementaire rij of kolomoperatie toe te passen, bekom je equivalente stelsels.

Maar dat idee blijft nogal vaag...

Voor de operatie waarbij een rij met een andere wordt verwisseld, maak ik gebruik van de lineaire onafhankelijkheid van de rijen in rij-gereduceerde vorm. Is dat correct?

Voor de lineaire combinaties die je van de rijen mag nemen, zie ik niet direct een oplossing.

Kan iemand me daarbij helpen, a.u.b.?


Alvast bedankt!

De rijoperaties komen overeen met manipulaties van de vergelijkingen van het stelsel waar je van vertrok. Ga na wat er met de vergelijkingen gebeurt en toon daar (of zie eenvoudig in) dat het de oplossingen niet wijzigt.

Bijvoorbeeld: als x een oplossing is van een lineaire vergelijking p(x) = 0, dan is het ook een oplossing van k.p(x) = 0 met k een constante. Idem door lineaire combinaties van andere vergelijkingen bij een vergelijking op te tellen. Triviaal dat je rijen mag verwisselen, want dat is de volgorde van de vergelijkingen in het stelsel veranderen.

En dus ook:

p(x)=0 => l*p(x)=0
q(x)=0 => k*q(x)=0

=> l*p(x) + k*q(x) =0

voor het nemen van lineaire combinaties!

Bedankt!

Inderdaad!