Integralen exact berekenen

Geplaatst op 28 november 2009 - 19:35

Hallo,

Met wiskunde zijn we pas begonnen met integralen. Ik heb alleen een vraag, ik weet niet hoe ik
integralen exact moet berekenen. Bij enkele kom ik wel uit maar dan praat ik over de hele makkelijke.
Kan iemand mij misschien helpen met de volgende (ik kan alleen het symbool van het integraal niet vinden daarvoor gebruik ik maar even een S)

Bereken

2
S x√x dx
0

hierbij is het integratie-interval [0,2]

hoe moet ik dit nu aanpakken?

Alvast bedankt

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 19:46

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 19:49

Het is hier dus de bedoeling dat je de oppervlakte tussen de kromme en de x-as berekent.(tussen 0 en 2)Het gaat hier om een bepaalde integraal, dus zal je eerste moeten het integrandum integreren en daarna de grenzen invullen zoals bv.

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

grtz

Edit: Klintersaas was me voor

Veranderd door Shadeh, 28 november 2009 - 19:50

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 19:52

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 19:56

Je hoort inderdaad de volgende integraal te berekenen:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int_0^2 x^{\frac32}\mbox{ d}x
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Je berekening is echter niet juist. Wat gebeurt er bij het integreren van een macht? Bij

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int x^2\mbox{ d}x
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

gaat het wel goed, bij deze integraal hoor je net hetzelfde te doen.

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:01

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:06

Dat klopt. Algemeen krijg je dus:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int x^n \mbox{ d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Hier is n gelijk aan 3/2.

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:10

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:21

C is de integratieconstante die erbij komt wanneer je onbepaald integreert. Niet gezien?

Een voorbeeldje. Beschouw de volgende onbepaalde integraal:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int x^2 \mbox{ d}x
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Hier is n uit de formule uit mijn vorige post gelijk aan 2. Volgens deze formule wordt de exponent dus met 1 verhoogd (2+1=3) en delen we de integrand ook door dit getal:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int x^2 \mbox{ d}x = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dat had je zelf ook al gevonden. Een tweede voorbeeld, nu met een negatieve exponent:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int \frac{1}{x^5} \mbox{ d}x
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Hier is n gelijk aan -5. De integraal wordt dus:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int \frac{1}{x^5} \mbox{ d}x = \int x^{-5} \mbox{ d}x = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{-4}}{-4} + C = \frac{-1}{4x^4} + C
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Een laatste voorbeeld:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int \sqrt{x} \mbox{ d}x
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Hier is n gelijk aan 1/2. De integraal wordt dus:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\int \sqrt{x} \mbox{ d}x = \int x^{\frac12} \mbox{ d}x = \frac{x^{\frac12+1}}{\frac12+1} + C = \frac{x^{\frac32}}{\frac32} + C = \frac{2x^{\frac32}}{3} + C = \frac{2x\sqrt{x}}{3} + C 
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Probeer het nu zelf eens voor n = 3/2.

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:31

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:37

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:46

• Terug naar boven

Geplaatst op 28 november 2009 - 20:59

• Terug naar boven

Geplaatst op 29 november 2009 - 09:37

• Terug naar boven

Geplaatst op 29 november 2009 - 12:19

Safe bedoelt dat 1,86 niet de exacte uitdrukking is, maar slechts een benadering. Doorgaans is het beter om je antwoord exact te geven (tenzij - zoals hier blijkbaar - uitdrukkelijk anders gevraagd). Probeer voor jezelf de exacte uitdrukking eens te bepalen. Ter controle:

Verborgen inhoud

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
F(2) - F(1) = \frac{2\cdot2^{\frac52}}{5} - \frac{2\cdot1^{\frac52}}{5} = \frac25\left(2^{\frac52}-1\right) = \frac25\left(\sqrt{2^5}-1\right) = \frac25\left(\sqrt{32}-1\right) = \frac25\left(\sqrt{2\cdot16}-1\right) = \frac25\left(4\sqrt{2}-1\right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit is de exacte uitdrukking en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac25\left(4\sqrt{2}-1\right) \approx 1,86
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

.

Ik ben in ieder geval blij dat je de uitwerking van de integraal begrijpt. Succes nog!

PS: Ik dacht dat de oorspronkelijke opgave sprak van een interval [0,2].

• Terug naar boven