Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

motionpictures88

Hallo

Ik worstel geruime tijd met het volgende probleem:

We hebben een differentievergelijking van de vorm y(k+1) + a*y(k)=b bestudeerd

Als algemene oplossing (voor a niet gelijk aan 1) bekomen we C*a^k + (b/1-a) met k element van de natuurlijke getallen waarbij C =(beginvoorwaarde - (b/1-a) )

Nu wordt er gesteld dat de algemene oplossing asymptotisch stabiel is als de limiet voor k naar + oneindig gelijk is aan een eindige waarde EN de algemene oplossing moet ook onafhankelijk zijn van de beginvoorwaarde.

Begrijp ik dit juist als ik stel dat de algemene oplossing enkel asymptotisch stabiel is als a=0 want dan staat C niet meer in de uitdrukking van de algemene oplossing (C*0=0 dus deze term valt weg; geen C in de uitdrukking dus geen afhankelijkheid van C) ?

TD

Als |a|<1, wat gebeurt er dan met a^k voor k naar oneindig? Dus met C.a^k?

motionpictures88

Als |a|<1, wat gebeurt er dan met a^k voor k naar oneindig? Dus met C.a^k?

Als |a|<1 en het grondtal a negatief is zal a^k gedempt oscilleren , als het grondtal a positief is zal a¨k converteren naar 0 als het een homogene vergelijking is.

We hebben zeven gebieden gezien I (a>1) , II (a=1), III (0<a<1), IV (a=0), V (-1<a<0), VI (a=-1) en VII (a<-1)

quote: "algemene oplossing asymptotisch stabiel is als de limiet voor k naar + oneindig gelijk is aan een eindige waarde EN de algemene oplossing moet ook onafhankelijk zijn van de beginvoorwaarde."

Volgens mij is het enige gebied dat asymptotisch stabiel is IV, is dit correct ?

Er wordt (denk ik) ook een onderscheid gemaakt tussen de definitie van een stabiele algemene oplossing en een stabiel evenwicht(Als |a|<1) , hier heb ik het over een stabiele algemene oplossing

TD

Onafhankelijk van het teken van a (dat zal inderdaad bepalen of het monotoon of oscillerend is), wat gebeurt er met a^k als |a|<1? Probeer eens met (-0,4)^k en (0,8)^k bijvoorbeeld. Voor k naar oneindig, gaan deze naar...? Dus ook C.a^k gaat naar...?

motionpictures88

Voor k naar oneindig, gaan deze naar 0 Dus ook C.a^k gaat naar 0

TD

Inderdaad, dus ook in die gevallen (en niet alleen voor a = 0) is de limiet onafhankelijk van C, zie je dat?

motionpictures88

Dat zie ik inderdaad, bedankt voor uw sterk antwoord!

Mijn probleem is opgelost.

motionpictures88

In mijn cursus had ik ook veel moeite met een definitie die luidt: " twee oplossingen van een differentievergelijking zijn lineair onafhankelijk , wanneer de ene oplossing niet kan geschreven worden als een veelvoud van de andere. Uit de identiteit c1*y1(k)+ c2y2(k) (gelijkheidsteken met drie streepjes) 0 moet dus noodzakelijk volgen dat c1=c2=0"

Deze definitie heb ik gezien om de paragraaf over de tweede orde lineaire differentievergelijkingen in te leiden.

kunt u mij met een voorbeeld aangeven wat "de ene oplossing niet kan geschreven worden als een veelvoud van de andere" betekent?

Wat is een gelijkheidsteken met drie streepjes?

Bedankt voor het bestaan van dit forum en voor uw deskundige hulp!

TD

motionpictures88 schreef:kunt u mij met een voorbeeld aangeven wat "de ene oplossing niet kan geschreven worden als een veelvoud van de andere" betekent?

Wat is een gelijkheidsteken met drie streepjes?

Bijvoorbeeld: x²-2 en 4-2x² zijn afhankelijk, omdat de ene een veelvoud is van de andere. Als je er een lineaire combinatie mee maakt en gelijkstelt aan 0, C.(x²-2)+D(4-2x²) = 0, dan werkt dit voor elke x door gewoon D = -2C te nemen.

Maar x² en x+1 zijn geen veelvoud van elkaar, deze zijn lineair onafhankelijk. Als je nu C.x² + D(x-1) = 0 hebt, dan kan je voor een zekere x-waarden wel C en D vinden (bv. voor x = 1 werkt C = D, maar dit werkt niet voor x = 2). Maar als je wil dat de gelijkheid geldt voor alle x (en niet voor een zekere x), dan gaat dat met deze onafhankelijke functies alleen door C = D = 0 te nemen.

Zo'n identiteit (voor alle x gelijk aan 0), noteren ze met die drie streepjes.

motionpictures88

U hebt alweer een paragraaf waarmee ik problemen had volledig duidelijk gemaakt aan de hand van een helder voorbeeld, nogmaals bedankt!

TD

Graag gedaan :eusa_whistle: Succes ermee!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking

Re: Stabiliteit van de oplossing van een eerste orde lineare differentievergelijking