Kwadraat van een complex getal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 103

Kwadraat van een complex getal

Hallo

In een oefening van elektriciteit staat de volgende bewerking:

P = R . I² = 10 . ( 6 + 2j )² = 400 Watt

Nu versta ik niet hoe je aan die 400 komt. Als ik dit uitwerk kom ik uit: 32 + 24j

Hoe weet je dan dat dit gelijk is aan 400?

Het is toch niet correct om te zeggen: (6 + 2j)² = 6² + 2² = 400 ?

Berichten: 119

Re: Kwadraat van een complex getal

je zegt zelf al 6^2+2^2=40.

dus P=Ri^2=10*40=400

Ik snap je bezwaar van (6+2j)^2. echter geldt de regel bij complexe getallen
\(z\cdot \overline{z}=|z|^2\)
moment ik zit nu te prutsen zoek ff het juiste antwoord op
A person who never made a mistake never tried anything new

Make everything as simple as possible, but not simpler.

Albert Einstein

Berichten: 103

Re: Kwadraat van een complex getal

Ok ik vond die eigenschap inderdaad in mijn curcus wiskunde.

Ik vind het alleen wat vreemd dat 32 + 24j dan gelijk is aan 400.

Kan je dit herschrijven tot 400?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kwadraat van een complex getal

mr. James schreef:In een oefening van elektriciteit staat de volgende bewerking:

P = R . I² = 10 . ( 6 + 2j )² = 400 Watt
Als het er zo staat, is het fout.

Je hebt gelijk, dan zou het zijn:

10 . ( 6 + 2j )² = 320 + 240j

Wellicht bedoelen ze:

10 . | 6 + 2j |² = 400
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 7.933

Re: Kwadraat van een complex getal

TD schreef:Wellicht bedoelen ze:

10 . | 6 + 2j |² = 400
Dat is inderdaad de bedoeling.

Ik snap trouwens niet hoe je aan 32 + 24j komt.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kwadraat van een complex getal

Dat zal nog zonder de factor 10 zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 208

Re: Kwadraat van een complex getal

Als je een complex getal in het kwadraat doet met de hand doe je z "keer" z*

waarbij z* de complex geconjungeerde is.

Dus
\( (a+bj)^2 = (a+bj)(a-bj) = a^2 + b^2 \)
wat in jou geval dus 40 geeft

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 7.933

Re: Kwadraat van een complex getal

Eigenlijk is het heel eenvoudig. Als in de elektrotechniek een stroom, spanning, of impedantie complex wordt weergegeven in de vorm a+bj, dan kun je a en b voorstellen als de rechthoekzijden van een rechthoekige driehoek.

Het gaat dan om de derde zijde van de driehoek, de schuine zijde dus. En die kan je berekenen volgens Pythagoras. Maar de laatste stap in Pythagoras, het worteltrekken, kun je overslaan, aangezien hier het kwadraat wordt gevraagd. Dus (a+bj)2 = a2+b2

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kwadraat van een complex getal

Kolio schreef:Als je een complex getal in het kwadraat doet met de hand doe je z "keer" z*

waarbij z* de complex geconjungeerde is.

Dus
\( (a+bj)^2 = (a+bj)(a-bj) = a^2 + b^2 \)
Nee hoor, dat klopt niet. Het kwadraat van z is gewoon z² = z*z.
\({\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)
Maar wel:
\({\left| {a + bi} \right|^2} = {a^2} + {b^2} = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 7.933

Re: Kwadraat van een complex getal

Zuiver wiskundig gezien heb je gelijk.
\({\left( {a + bi} \right)^2}\)
is niet hetzelfde als
\({\left| {a + bi} \right|^2}\)
Vroeger heb ik veel van dit soort sommen gemaakt, en dan schreef ik gewoon
\({\left( {a + bi} \right)^2}\)
terwijl ik wist dat er eigenlijk
\({\left| {a + bi} \right|^2}\)
bedoeld werd.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kwadraat van een complex getal

Dat is natuurlijk erg verwarrend, omdat (a+bi)² niet iets is dat "niet gebruikt wordt" of "geen betekenis heeft".

Het kwadraat van een complex getal bestaat ook, noteer je natuurlijk net zo, en betekent iets anders dan |z|².

Ik zie trouwens nu pas je vorige bericht; mijn vorig bericht was voor alle duidelijkheid een reactie op Kolio...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 7.933

Re: Kwadraat van een complex getal

Intussen heb ik nog eens met deze formule zitten stoeien:
\({\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)
Vul je daar de getallen van de oorspronkelijke opgave in, dan krijg je 32+24j, dus dat snap ik intussen ook.

Neem je daar de absolute waarde van, dan komt daar ook 40 uit. Dat klopt achteraf gezien ook wel, want dat is een van de principes van complex rekenen, bij het vermeningvuldigen van complexe getallen kun de je de absolute waarden vermeningvuldigen en de hoeken optellen.

In het onderhavige geval is de hoek van geen belang. Als je die mee zou nemen in de berekening dan krijg je uiteindelijk een complex vermogen, en dat is onzin.

Reageer