\( F(x,y) = (x+1)e^y + \sin(x^2+y^2) - 1 = 0 \)
. Deze gaat door de oorsprong (makkelijk na te gaan door \((0,0)\)
in te vullen). We wensen de eerste orde en tweede orde Taylor veelterm ervan te berekenen, in de oorsprong.De vergelijking
\(F(x,y) = 0\)
definieert in de omgeving van \((0,0)\)
impliciet ook de functie \(y(x)\)
, en hoewel we deze \(y(x)\)
niet kennen, kunnen we \(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}(0)\)
en \(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2}(0)\)
berekenen, nodig voor de Taylor veeltermen.Uit
\(F(x,y) = 0\)
volgt \(\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}(x) = 0\)
. Noem dit vergelijking 1. Dit snap ik, tot hier is alles theorie.Voor de eerste orde partiële afgeleiden van F vinden we
\(\frac{\partial F}{\partial x} = e^y + 2x \cos(x^2+y^2)\)
, \(\frac{\partial F}{\partial x}(0,0) = 1\)
, \(\frac{\partial F}{\partial y} = (x+1)e^y + 2y \cos(x^2+y^2)\)
en \(\frac{\partial F}{\partial y}(0,0) = 1\)
. Dit invullen in vergelijking 1 en we vinden \(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}(0) = -1\)
en dus \( y = -x \)
als eerste orde Taylor veelterm.Voor de tweede orde Taylor veelterm wil ik vergelijking 1 afleiden naar x, maar daar loopt het fout. Afleiden naar x geeft mij
\(\frac{\partial ^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 F}{\partial x \partial y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}(x) + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2}(x)= 0\)
.Dit is echter niet juist. Kan iemand mij helpen?
Alvast bedankt
Denis
