Neem bvb. de differentiaalvergelijking
\(Ly = x^2 + e^{2x}\)
met \(L = D^4 - 3D^3+4D\)
of dus, in het geheel:\(y'''' - 3y'''+4y' = x^2 + e^{2x}\)
.Eerst splitsen we het probleem op:
\(Ly_a = x^2\)
en \(Ly_b = e^{2x}\)
.Dan lossen we de homogene diff vgl op:
\(Ly_H = 0\)
met karakteristieke vgl \(p(\lambda) = \lambda (\lambda -2)^2 (\lambda + 1) = 0\)
en dus \(y_{1, \ 2, \ 3, \ 4} = 1, \ e^{2x}, \ xe^{2x}, \ e^{-x}\)
En dus nu moet ik particuliere oplossingen voor \(Ly_a = x^2\)
en \(Ly_b = e^{2x}\)
vinden. Voor \(Ly_a = x^2\)
doe ik dit blijkbaar door de operator \(\overline{L} = D^3\)
in te voeren, dan wordt de karakteristieke vgl \(\overline{p}(\lambda) \cdot p(\lambda) = \lambda^4 (\lambda -2)^2 (\lambda + 1) = 0\)
. Maar hoe weet ik in godsnaam welke operator (in dit geval \(\overline{L} = D^3\)
) ik moet invoeren? Waarom niet een andere operator? Of bedoelen ze een operator waardoor x^2 nul wordt? Want dan kan je D^3 gebruiken, maar ook D^4 of D^5...Dat zou betekenen dat de andere operator, om
\(Ly_b = e^{2x}\)
op te lossen, e^2x tot nul moet herleiden. D-2? Of D^2 - 4? Of D^3 - 8?Denis
