Partieel afgeleiden voor beginners

Fons

Dag iedereen,

De laatste dag van 2009 besteed ik aan het bekijken van partieel integreren.

Ik ben begonnen met het begin en dat is op zoek gaan naar een goed, maar vooral simpel voorbeeld.

Dat is deze keer het eerste voorbeeld van Wikipedia: Klik hier voor desbetreffende pagina.

Voordat ik op die som wil ingaan, zou ik graag al dan niet bevestigd worden in het volgende gedachtegoed:

"Partieel afgeleiden wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met twee variabelen. Men wil bijvoorbeeld achterhalen wat het effect is van het veranderen van een variabele terwijl de andere variabele constant wordt gehouden. In woorden: wat is het effect van de temperatuur (=variabele 1) en de lichtintensiteit (=variabele 2) op de CO2 assimilatie (=functie) van een bepaalde plant."

Wiskundig zou je dat kunnen schrijven zoals de eerste voorbeeldsom op Wikipedia.

We willen hier dus weten hoe f(x,y) veranderd als x en y veranderen. We kunnen dit doen door 1 variabele constant te houden terwijl we de andere wijzigen.

Bij de eerste som zegt men op Wikipedia het volgende:

"In feite beschouwen we hier de variabele y als constante en differentiëren we naar de variabele x."

Nu is mijn vraag: hoe moet je dat lezen en toepassen?

Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.

Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.

Mag je dat inderdaad zo zeggen / vertalen?

Ik hoor graag hoe jullie hierover denken.

Bij voorbaat dank voor jullie moeite!

Vriendelijke groeten,

Fons

PS. Ik vind het prettig 'wiskunde formules' van tijd tot tijd even om te zetten tot simpele getalletjes / een verhaaltje / een zin. Ik doe dit omdat het dan voor mij makkelijker te begrijpen wordt. :eusa_whistle: Tegelijkertijd realiseer ik mij ook dat ik daarmee de 'wiskunde puristen' en het vak zelf een beetje te kort doe. Bij deze wil ik mij daar voor verontschuldigen.

thermo1945

Fons schreef:"Partieel afgeleiden wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met twee variabelen.

We willen hier dus weten hoe f(x,y) veranderd als x en y veranderen. We kunnen dit doen door 1 variabele constant te houden terwijl we de andere wijzigen.

Bij de eerste som zegt men op Wikipedia het volgende:

"In feite beschouwen we hier de variabele y als constante en differentiëren we naar de variabele x."

Nu is mijn vraag: hoe moet je dat lezen en toepassen?

Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.

Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.

Mag je dat inderdaad zo zeggen / vertalen?

Je ziet en verwoordt het vlijmscherp!

Xenion

Fons schreef:Nu is mijn vraag: hoe moet je dat lezen en toepassen?

Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.

Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.

Ik weet niet wat je bedoelt met 'lekker' laten staan, maar een correctere verwoording is waarschijnlijk 'als constante beschouwen'

Stel je hebt: f(x,y) = 2*x*y + x + y

Als je de partiële afgeleide naar x berekent krijg je:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2*y + 1\)

Die laatste term in je originele functie afleiden geeft dus 0, omdat je y hier als een constante beschouwt. Je mag die term dus niet gewoon 'laten staan'.

TD

De laatste dag van 2009 besteed ik aan het bekijken van partieel integreren.

Je bedoelt wellicht afleiden :eusa_whistle:

"Partieel afgeleiden wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met twee variabelen. Men wil bijvoorbeeld achterhalen wat het effect is van het veranderen van een variabele terwijl de andere variabele constant wordt gehouden.

Je kan het misschien direct wat algemener zien: voor functies van meerdere veranderlijken (ook drie, vier, ...). Van een functie van één veranderlijke, met voorschrift y = f(x), ken je de "gewone afgeleide". Die vertelt hoe sterk het beeld (y = f(x)) verandert, wanneer de (onafhankelijke) veranderlijke x verandert.

Als je gaat kijken naar een functie z = f(x,y) van twee onafhankelijke veranderlijken x en y, dan werkt dat niet meer. Je wil nog steeds de invloed van de veranderlijken op het beeld nagaan, maar je kan dat nu op meerdere manieren doen. Bijvoorbeeld: hoe verandert z = f(x,y) als ik y constant hou, maar x laat variëren. Dit geeft aanleiding tot de partiële afgeleide naar x; vice versa voor y.

In woorden: wat is het effect van de temperatuur (=variabele 1) en de lichtintensiteit (=variabele 2) op de CO2 assimilatie (=functie) van een bepaalde plant."

Als dit het voorbeeld is en ik noem de functie f, dan heb je f(T,I) met T de temperatuur en I de lichtintensiteit. Met de partiële afgeleide van f naar T kan je dan bijvoorbeeld bepalen hoe fel f verandert als je T laat variëren, voor een zekere vaste waarde van de lichtintensiteit; en weer omgekeerd. Je gaat de invloed van beide parameters dus 'apart' na, door telkens één constant te houden en de andere te laten variëren.

Fons schreef:Bijvoorbeeld: kijk enkel en alleen naar x (/ differentieer enkel x) en laat y 'lekker' staan.

Bij het tweede deel van de som wordt dat dan dus: kijk enkel en alleen naar y (/differentieer y) en laat x staan.

Mag je dat inderdaad zo zeggen / vertalen?

Het ligt eraan wat je hier precies mee bedoelt, zoals reeds gezegd is het wat veiliger om het te hebben over "als constante beschouwen".

Voorbeelden:

(x²)' = 2x

(4x²)' = 4.2x = 8x

(cx²)' = c.2x = 2cx

(2+c+x)' = 2' + c' + x' = 1

In mijn laatste voorbeelden, is c een of ander reëel getal: een constante. Het afleiden is telkens de "gewone afgeleide". Zo ook bij het bepalen van een partiële afgeleide. Stel f(x,y) = x²+y²-2xy. Om de partiële afgeleide van f naar x te vinden, bekijk je het eigenlijk als een functie van één veranderlijke (namelijk x), waarbij je y beschouwt als een constante.

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2}} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^2}} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { - 2xy} \right) = 2x + 0 - 2y\)

Je vindt dus 2x-2y.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Partieel afgeleiden voor beginners

Partieel afgeleiden voor beginners

Re: Partieel afgeleiden voor beginners

Re: Partieel afgeleiden voor beginners

Re: Partieel afgeleiden voor beginners