Kwadratische vormen (en kwadrieken)

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:29

Laat me de hele uitdrukking in het rechterlid x noemen, dan hebben we dus:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
f\left( {A + H} \right) - f\left( A \right) = x \Rightarrow f\left( {A + H} \right) > f\left( A \right) \Leftrightarrow x > 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Waarbij

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
x = \frac{{{\rho ^2}}}{2}\left( {q\left( U \right) + \frac{\rho }{3}\beta \left( H \right)} \right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

De factor ρ²/2 is alvast positief en het minimum van q(U) is q₀>0. Als β(H) ook positief is, is er dus geen probleem.
Als β(H) negatief is, schrijf dan β(H) = -|β(H)| en we zoeken dan een voorwaarde op ρ:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\[q\left( U \right) - \frac{\rho }{3}\left| {\beta \left( H \right)} \right| > 0 \Leftrightarrow q\left( U \right) > \frac{\rho }{3}\left| {\beta \left( H \right)} \right| \Leftrightarrow \rho  < \frac{{3q\left( U \right)}}{{\left| {\beta \left( H \right)} \right|}}\]
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit voor alle U en H, dus af te schatten naar de strengste voorwaarde:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\rho  < \frac{{3{q_0}}}{m} \le \frac{{3q\left( U \right)}}{{\left| {\beta \left( H \right)} \right|}}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:45

Geniaal van u! Duizendmaal bedankt!

En verder moet ρ r, straal van de bol V.

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:48

"Geniaal" zou ik toch reserveren voor geniale vondsten

Graag gedaan, ik moest er zelf wel even naar kijken (even in de war met het teken...)

Die andere voorwaarde volgde inderdaad van daarvoor, de straal van de bol die β beperkt.

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 20:57

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:03

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:11

Nee, de kwadratische vorm ervan zou, volgens het boek, x²+y² zijn, in beide gevallen.

Dat volg ik niet

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:21

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:31

Ik bekom dus voor de kwadratische vorm:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\begin{pmatrix} h1 & h2 & h3 \end{pmatrix}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\begin{pmatrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\0&0&0 \end{pmatrix}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\begin{pmatrix} h1 \\ h2 \\h3 \end{pmatrix}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Kan dit kloppen?

Veranderd door In fysics I trust, 04 januari 2010 - 21:32

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:36

Na invullen van het stationair punt, ja (daarvoor heb je beneden rechts nog een niet-nul element in z).

Dan kom je dus tot

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
q\left( {{h_1},{h_2},{h_3}} \right) = 2h_1^2 + 2h_2^2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dat scheelt een factor 2 maar dat maakt geen verschil voor het definiet zijn (cf. de eerder weggevallen factor 1/2 in die tweede orde term).

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:48

• Terug naar boven

Geplaatst op 04 januari 2010 - 21:52

• Terug naar boven

Geplaatst op 25 januari 2010 - 09:51

http://homepages.vub...enepe/linea.pdf
p. 143 (vraagje over het eerste deel van deze topic) onderaan de bladzijde.

"Voor ||H-A||<r..."
In de schriftelijke versie staat er:
"Voor ||H||<r..."

Wat is de betekenis van deze voorwaarde, en vanwaar komt het verschil?
Heeft dat te maken met de bol

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\beta
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

met straal r die beperkt werd erboven?

Nogmaals bedankt!

• Terug naar boven