Nilpotente matrix singulier ?

Dommezeg

De vragen die ik me stel zijn eigelijk.

Idempotente matrix: regulier of singulier? +Leg kort uit of toon aan

Nilpotente matrix: regulier of singulier? +leg kort uit of toon aan

Klintersaas

Is het mogelijk dat dit vragen zijn die iemand anders je stelt (bijv. in het kader van huiswerk)?

Vraag je eerst af wat de eigenschappen zijn van reguliere en singuliere matrices (denk bijv. aan de determinant). Ga vervolgens na of (één van) deze eigenschappen overeen komen/overeen komt met die van idempotente en nilpotente matrices.

Dommezeg

Klintersaas schreef:Is het mogelijk dat dit vragen zijn die iemand anders je stelt (bijv. in het kader van huiswerk)?

Vraag je eerst af wat de eigenschappen zijn van reguliere en singuliere matrices (denk bijv. aan de determinant). Ga vervolgens na of (één van) deze eigenschappen overeen komen/overeen komt met die van idempotente en nilpotente matrices.

Nee het is geen huiswerk, Het is al lang geleden dat ik nog huiswerk gehad heb.

Ik weet wel wat de begrippen betekenen hoor, maar zoek een kort bewijsje voor het uit te leggen

singulier det=0

regulier det is niet 0

idempotent A²=A

nilpotent A^p=0

Klintersaas

Dommezeg schreef:singulier det=0

regulier det is niet 0

idempotent A²=A

nilpotent A^p=0

Dat is al een goed begin. Wat zijn de eigenwaarden van nilpotente en idempotente matrices en wat is het verband tussen de eigenwaarden van een matrix en de determinant? Als je dat weet en kunt bewijzen, ben je er.

Dommezeg

Dat is al een goed begin. Wat zijn de eigenwaarden van nilpotente en idempotente matrices en wat is het verband tussen de eigenwaarden van een matrix en de determinant? Als je dat weet en kunt bewijzen, ben je er.

Dat zou ik niet weten ik zat zelf helemaal niet langs de kant van de eigenwaarden te zoeken. De kans is groot dat ik die vraag op het examen morgen krijg dus ik zou het wel graag het verband willen weten waarmee ik dit vraagstuk kan oplossen.

Klintersaas

Mogelijk zijn er nog andere wegen, maar volgens mij geraak je er het snelst via eigenwaarden. Een opzetje:

De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn gelijk aan 0 (bewijs dit);
De determinant is het product van de eigenwaarden (bewijs dit);
Bijgevolg is de determinant 0 en is een nilpotente matrix singulier.

Ga gelijkaardig tewerk voor de idempotente matrix.

Dommezeg

Klintersaas schreef:Mogelijk zijn er nog andere wegen, maar volgens mij geraak je er het snelst via eigenwaarden. Een opzetje:

De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn gelijk aan 0 (bewijs dit);

De determinant is het product van de eigenwaarden (bewijs dit);

Bijgevolg is de determinant 0 en is een nilpotente matrix singulier.

Ga gelijkaardig tewerk voor de idempotente matrix.

Merci, ik wist het zelf niet dat de de determinant het product is van de eigenwaarden !

Klintersaas

Graag gedaan. Lukken de bewijsjes?

Dommezeg

Nee de bewijsjes lukken niet echt, kheb nogal aant knoeien, ik zit zelf met een vraag voor bij de idempotente, daar zijn de eigenwaarden soms 0 maar soms ook niet want de matrix [1,0,0,1] is een idempotentematrix met eigenwaarde 1 of zit ik daar fout.

Klintersaas

Nee, dat klopt. De eigenwaarden van een idempotente matrix zijn ofwel gelijk aan 0, ofwel aan 1.

eendavid

Het kan denk ik veel rechstreekser. Determinant nemen van

\(A^p=0\)

geeft een vergelijking voor det(A) (want

\(\det(A^p)=\det(A)^p\)

), en je vindt onmiddellijk dat A singulier is. Voer eenzelfde redenering voor de vergelijking

\(A^2=A\)

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Nilpotente matrix singulier ?

Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?

Re: Nilpotente matrix singulier ?