
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
\frac{1}{c^2}u_{tt} = u_{xx}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
where

with




Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
Solution Step 1. Transform to homogeneous conditions
Split

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t)
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
with



See that

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
with homogeneous boundry conditions




Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
w_t(x,0) = 0
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
Step 1 completed!
Solution Step 2. See the trivial solution
w(x,t) = 0 is a solution to the wave equation

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
(wave is at rest...)
Step 2 accomplished!
Solution Step 3. Find the general solution of

Seperate

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
w(x,t) = X(x)T(t)
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx} = \lambda
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX



Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
X'' - \lambda X = 0
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
T'' - c^2\lambda T = 0
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
Case 1:


Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
X(x) = a_1x + a_2
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
T(t) = b_1t + b_2
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX




dus


Case 2:


Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
X(x) = a_1e^{\sqrt{\lambda}x} + a_2e^{-\sqrt{\lambda}x}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
T(t) = b_1e^{c\sqrt{\lambda}t} + b_2e^{-c\sqrt{\lambda}t}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX





dus


Case 3:


Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
X(x) = a_1\sin{(\lambda}x)} + a_2\cos{(\lambda}x)}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
T(t) = b_1\sin{(c\lambda t)} + b_2\cos{(c\lambda t)}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX




Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
\lambda = \frac{\pi n}{\l}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
dus

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
X_n(x) = a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
T(t) = b_1\sin{(\frac{c \pi nt}{\l})} + b_2\cos{(\frac{c \pi nt}{\l})}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
Algemene oplossingen voor



Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
X(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})}
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
T(t) = \sum_{m=1}^{\infty}\left(b_m\sin{(\frac{c \pi mt}{\l})} + c_m\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}\right)
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
Step 3 successful!
Solution Step 4. Terug naar


Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t) = \frac{Px}{l} + X(x)T(t) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_1\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \sum_{m=1}^{\infty}\left(b_m\sin{(\frac{c \pi mt}{\l})} + c_m\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}\right)
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
Mag je hier één som van maken?

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t) = \frac{Px}{l} + X(x)T(t) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_1\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \left(b_n\sin{(\frac{c \pi mt}{\l})} + c_n\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}\right)
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
De




Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX

Hoe gaat dit verder? Wie kan helpen?
Step 4 Not completed
Veranderd door phi hung, 17 januari 2010 - 16:44