Inloggen Account aanmaken

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Wave equation

Begonnen door: phi hung, 17 jan 2010 16:43

Log in om te kunnen reageren

#1

phi hung

>250 berichten

284 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 16:43

Wave equation

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}u_{tt} = u_{xx}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

where

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u = u(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

with

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(0,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(l,t) = P
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Solution Step 1. Transform to homogeneous conditions
Split

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

with

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
v(0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
v(l) = P
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
v_x(x) = 
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

constant

See that

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

with homogeneous boundry conditions

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(0,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(l,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Step 1 completed!

Solution Step 2. See the trivial solution
w(x,t) = 0 is a solution to the wave equation

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

(wave is at rest...)

Step 2 accomplished!

Solution Step 3. Find the general solution of

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Seperate

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t) = X(x)T(t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

and solve!

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx} = \lambda
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(l) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X'' - \lambda X = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T'' - c^2\lambda T = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Case 1:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lambda = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x) = a_1x + a_2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t) = b_1t + b_2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_2 = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(l) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft vervolgens

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_1 = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

dus

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

, wat de triviale oplossing was die we al hadden.

Case 2:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lambda > 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x) = a_1e^{\sqrt{\lambda}x} + a_2e^{-\sqrt{\lambda}x}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t) = b_1e^{c\sqrt{\lambda}t} + b_2e^{-c\sqrt{\lambda}t}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_1 = a_2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(l) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_1 = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_2 = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

dus

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

, wat wederom de triviale oplossing was die we al hadden.

Case 3:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lambda < 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x) = a_1\sin{(\lambda}x)} + a_2\cos{(\lambda}x)}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t) = b_1\sin{(c\lambda t)} + b_2\cos{(c\lambda t)}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_2 = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(l) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lambda = \frac{\pi n}{\l}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

dus

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X_n(x) = a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t) = b_1\sin{(\frac{c \pi nt}{\l})} + b_2\cos{(\frac{c \pi nt}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Algemene oplossingen voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t) = \sum_{m=1}^{\infty}\left(b_m\sin{(\frac{c \pi mt}{\l})} + c_m\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}\right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Step 3 successful!

Solution Step 4. Terug naar

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t) = \frac{Px}{l} + X(x)T(t) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_1\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \sum_{m=1}^{\infty}\left(b_m\sin{(\frac{c \pi mt}{\l})} + c_m\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}\right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Mag je hier één som van maken?

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t) = \frac{Px}{l} + X(x)T(t) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_1\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \left(b_n\sin{(\frac{c \pi mt}{\l})} + c_n\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}\right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

De

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_n
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

zou je dan weg kunnen laten, want die gaat dan op in

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
b_n
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_n
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

.

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft ...

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

geeft ...

Hoe gaat dit verder? Wie kan helpen?

Step 4 Not completed

Veranderd door phi hung, 17 januari 2010 - 16:44

Einstein meets Pythagoras E = m(a²+b²)

Terug naar boven

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

>5k berichten

24223 berichten
VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 18:07

Solution Step 4. Terug naar
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
geeft ...

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
geeft ...

Hoe gaat dit verder? Wie kan helpen?

Step 4 Not completed

Begin alvast eens met die eerste voorwaarde (met de afgeleide), daar kan je volgens mij de b's uithalen.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Terug naar boven

#3

phi hung

phi hung

>250 berichten
284 berichten

Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 18:14

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
geeft ...
Ik zie dat differentiëren naar

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
t
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
t = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
invullen in

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
, geeft dat

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
b_m = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
.
Dan wordt

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \sum_{m=1}^{\infty}c_m\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
geeft ...

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
t=0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
invullen in

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
, geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \left( \sum_{m=1}^{\infty}c_m \right) \sin{(\frac{\pi nx}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
k_n = a_n \sum_{m=1}^{\infty}c_m
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} k_n \sin{(\frac{\pi nx}{\l})} = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Het lijkt mij op een fourrier reeks. Maar als we de

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
k_n
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
's hebben bepaald, zijn er dan niet nog oneindig veel oplossingen mogelijk voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_n
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_m
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
?
Bijvoorbeeld als

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
k_3 = 27
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
(ik noem maar iets willekeurig), dan voldoet

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_3 = 9
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
,

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_1 = 1
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
,

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_2 = 5
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
,

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_3 = -3
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
,

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_j = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
j>3
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
, en ook vele andere oplossingen zullen voldoen, om er nog maar één te noemen:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
a_3 = 27
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
,

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_1 = 1
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
,

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_j = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
j>1
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
. De opgave met randvoorwaarden lijkt niet compleet! Of zie ik iets verkeerd???

Veranderd door phi hung, 17 januari 2010 - 18:16

Einstein meets Pythagoras E = m(a²+b²)

Terug naar boven

#4

TD

TD

>5k berichten
24223 berichten

VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 18:21

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
geeft ...
Ik zie dat differentiëren naar

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
t
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
t = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
invullen in

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
, geeft dat

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
b_m = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
.
Dan wordt

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = \frac{Px}{l} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \sum_{m=1}^{\infty}c_m\cos{(\frac{c \pi mt}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dat klopt, maar waarom nog a's en c's? De a's hadden we eerder al laten wegvallen en die zijn hier dus ook niet meer nodig, je hebt dus enkel nog c's; al mag je die natuurlijk ook a's noemen . Je hebt dus:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{{Px}}{l} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{l}} \right)} = 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{l}} \right)} = - \frac{{Px}}{l}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Het linkerlid heeft nu inderdaad precies de vorm van een Fourierreeks voor een oneven functie (sinussen), de a's volgen dus als Fouriercoëfficiënten.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Terug naar boven

#5

phi hung

phi hung

>250 berichten
284 berichten

Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 19:14

Ik begrijp nog niet waarom je de som mag verenigen. In het algemeen geldt niet

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
(a_1 + a_2)(b_1 + b_2) = a_1b_1 + a_2b_2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Je kunt zeggen

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
C:= \sum_{m=1}^{\infty} c_m
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
.
Dus

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
k_n = a_nC
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Stel, we kiezen

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
C = 5
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
.
Levert

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_1 = 5
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_j = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
j \neq 1
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
dan dezelfde golffunctie

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

als

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_2 = 5
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_j = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
j \neq 2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
?

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_1 = 5
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \cdot 5\cos{(\frac{c \pi t}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
c_2 = 5
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin{(\frac{\pi nx}{\l})} \cdot 5\cos{(\frac{c \pi 2t}{\l})}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Zijn dit niet twee verschillende wave functies die beiden voldoen aan de boundry conditions?

Einstein meets Pythagoras E = m(a²+b²)

Terug naar boven

#6

TD

TD

>5k berichten
24223 berichten

VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 19:21

Ik begrijp nog niet waarom je de som mag verenigen. In het algemeen geldt niet

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
(a_1 + a_2)(b_1 + b_2) = a_1b_1 + a_2b_2
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
Klopt; maar volgens mij kan je het toch tot een oplossing van die voorgestelde vorm herleiden.

Je kan zeggen dat het plaatsafhankelijke probleem voor elke n een oplossing gaf van de vorm:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{l}} \right)}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

En het tijdsafhankelijke probleem voor elke n een oplossing van de vorm:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
{a_n}\cos \left( {\frac{{n\pi ct}}{l}} \right) + {b_n}\sin \left( {\frac{{n\pi ct}}{l}} \right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Een oplossing van het volledige probleem is het product, dus voor elke n is een oplossing:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
{u_n}\left( {x,t} \right) = {X_n}\left( x \right){T_n}\left( t \right) = \sin \left( {\frac{{n\pi x}}{l}} \right)\left( {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\pi ct}}{l}} \right) + {b_n}\sin \left( {\frac{{n\pi ct}}{l}} \right)} \right)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Omdat de DV lineair is, geldt vervolgens dat een lineaire combinatie nog steeds een oplossing is:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{l}} \right)\left( {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\pi ct}}{l}} \right) + {b_n}\sin \left( {\frac{{n\pi ct}}{l}} \right)} \right)}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

En dan heb je met de vorige redenering nog steeds alle b's gelijk aan 0 en de a's als Fouriercoëfficiënten.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Terug naar boven

#7

phi hung

phi hung

>250 berichten
284 berichten

Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 20:58

Aha, je neemt eerst een oplossing van

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
X(x)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en een oplossing van

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
T(t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
, vervolgens neem je daar het product van en heb je een oplossing voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en daarna neem je alle lineaire combinaties.

Ik had voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
dus het product van alle lineaire combinaties van X(x) en alle lineaire combinaties van T(t).

Maar dan ben ik er nog niet helemaal uit. Voor een oplossing van

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
had je dan toch ook kunnen nemen

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w_n(x,t) = X_n(x)\cdot T_{n+1}(t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Kom je dan niet tot andere wave functies?

Einstein meets Pythagoras E = m(a²+b²)

Terug naar boven

#8

TD

TD

>5k berichten
24223 berichten

VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:08

Het zou inderdaad kunnen dat je op die manier niet alle oplossingen hebt; zie echter ook hier bijvoorbeeld.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Terug naar boven

#9

phi hung

phi hung

>250 berichten
284 berichten

Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 maart 2010 - 16:06

Maar dan ben ik er nog niet helemaal uit. Voor een oplossing van

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
had je dan toch ook kunnen nemen

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w_n(x,t) = X_n(x)\cdot T_{n+1}(t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Kom je dan niet tot andere wave functies?
Ik ben er al uit.

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w_n(x,t) = X_n(x)\cdot T_{n+1}(t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
voldoet niet aan

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}u_{tt}=u_{xx}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
.
Elke n hoort bij een bepaalde lambda.

Einstein meets Pythagoras E = m(a²+b²)

Terug naar boven

#10

phi hung

phi hung

>250 berichten
284 berichten

Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2010 - 11:49

Wave equation

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}u_{tt} = u_{xx}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

where

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u = u(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

with

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(0,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(l,t) = P
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Solution Step 1. Transform to homogeneous conditions
Split

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,t) = v(x) + w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

with

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
v(0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
v(l) = P
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
v_x(x) =
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
constant

See that

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1}{c^2}w_{tt} = w_{xx}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

with homogeneous boundry conditions

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(0,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(l,t) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w_t(x,0) = 0
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Step 1 completed!
De derde boundary condition voor

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
w(x,t)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten
moet zijn:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
u(x,0) = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \frac{P}{L}x + w(x,0) = 0 \Rightarrow \ \ \ \ w(x,0) = -\frac{P}{L}x
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Einstein meets Pythagoras E = m(a²+b²)

Terug naar boven

Terugkeren naar Huiswerk en Practica

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Reageren op geciteerde berichten Leegmaken

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Nieuwsberichten

De huidige wetenschappelijke... 16-04 1

Zitten is slecht voor je hers... 15-04 4

Wetenschappers laten voor het... 11-02

Computer klopt mens in leestest 18-01

Gesponsorde vacatures

Hier ook uw vacature? 06-14

Nieuwe onderwerpen

rekenenen met waarnemingsfouten 18-04 4

percentage onterechte (on-)vo... 18-04 2

Beschouw de lineaire transfor... 18-04 1

Ombouwen van een formule 18-04 12

Bepaalt het voorschrift een u... 18-04

Puntlast op ingeklemde plaat 18-04 2

Puntlast op ingeklemde plaat 18-04 1

silicagel 18-04 1

Gewoon enkele merkwaardighede... 17-04 10

Waterstofperoxide aantonen 17-04 1

Vacatures

Wat:

Waar:

vacatures van

Wetenschapsforum

» Algemeen

» Huiswerk en Practica

Privacy Policy

Regels ·

Nederlands (NL)

English (USA)

Nederlands (NL)

Contact

Hulp

Community Forum Software by IP.Board
Licentie voor: Wetenschapsforum

Inloggen

Gebruik Facebook

Nog geen account? Maak een account aan!

Gebruikersnaam of e-mailadres:

Forumwachtwoord

Ik ben mijn wachtwoord vergeten

Ingelogd blijven
Dit wordt niet aanbevolen voor openbare computers

Anoniem inloggen
Don't add me to the active users list

Privacy Policy