Complexe vergelijking oplossen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-01-'10, 21:28

Emveedee

Berichten: 703

Complexe vergelijking oplossen

Hallo,

Ik ben bezig met complexe vergelijkingen, maar ik heb moeite te beginnen met de opgaven, ik weet niet goed wat ik moet doen.

Als iemand even een hint wil geven zou dat erg fijn zijn!
\(|z-1-\iota|=|z|\)
Edit:

De opgave is: Bepaal de verzameling
\(z\in \mathbb{C}\)
die voldoet aan onderstaande gelijkheid. Schets deze verzameling in het complexe vlak.
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 21:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

Je kan z gelijkstellen aan x+iy om dan de normen uit te rekenen en te vereenvoudigen.

Je kan ook "meetkundig redeneren" in plaats van rekenen, de modulus is een afstand...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 21:47

Emveedee

Berichten: 703

Re: Complexe vergelijking oplossen

\(|z-1-\iota|=|z|\)
\(|(x-1)+(y-1)\iota|=|x+y\iota|\)


Ik zie niet hoe nu verder.. Ik vind het me ook erg lastig om hier iets bij voor te stellen in het complexe vlak, ook als ik het als 'afstanden' bekijk.
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 21:49

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

Laten we dan eerst "domweg rekenen" en achteraf misschien kijken hoe we dat hadden kunnen "inzien" (meetkundig).

Weet je hoe je de modulus van een complex getal uitrekent? Dus als z = a+bi, dan is |z| = |a+ib| = ...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 21:53

Emveedee

Berichten: 703

Re: Complexe vergelijking oplossen

Ik denk zo:
\(|z|=\sqrt{(a^2+b^2)}\)
, of misschien met:
\(z \overline{z}=|z|^2 \)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 21:55

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

De tweede uitdrukking is ook juist, maar de eerste levert je direct een formule om de modulus uit te rekenen.

Die wortels zijn nogal vervelend, we kunnen ook eerst beide leden kwadrateren (ze zijn toch allebei positief):
\(\left| {z - 1 - i} \right| = \left| z \right| \Rightarrow {\left| {z - 1 - i} \right|^2} = {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow {\left| {\left( {x - 1} \right) + i\left( {y - 1} \right)} \right|^2} = {\left| {x + iy} \right|^2}\)
Nu kan je vereenvoudigen, met |z|² = a²+b² als z = a+bi.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 21:59

Emveedee

Berichten: 703

Re: Complexe vergelijking oplossen

\(|(x-1)+\iota(y-1)|^2=|x+\iota y|^2\)
\((x-1)^2+(y-1)^2=x^2+y^2\)
Oplossen geeft
\(y=1-x\)


Maar hoe kom ik nu dan terug naar het complexe vlak?
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:02

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

Je zit in het complexe vlak, we hadden immers z = x+iy genomen dus hierin is x het reëel deel en y het imaginair deel van de complexe variabele z. Als je deze rechte tekent, heb je dus je verzameling (in het complexe vlak, x op de reële as, y op de imaginaire as).

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(-3,3,-3,3,300,300,600,600,'1-x')</script><!--graphend-->
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:11

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Complexe vergelijking oplossen

Je gaat een complex getal, zoals TD reeds zei, opsplitsen in reëel en imaginair deel. x+yi heeft dan als coördinaat in ht complexe vlak (x,y). Misschien puur ter informatie: je ziet dat je in
\(\cc\)
geen orde hebt op je verzameling! Je kan de verzameling der reële getallen dus voorstellen als één eenzame rechte die te midden van al die complexe getallen ligt.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:14

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

Je kan de verzameling der reële getallen dus voorstellen als één eenzame rechte die te midden van al die complexe getallen ligt.
Dit is behoorlijk poëtisch verwoord :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:17

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Complexe vergelijking oplossen

Wiskunde inspireert me elke dag :eusa_whistle:
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:22

Emveedee

Berichten: 703

Re: Complexe vergelijking oplossen

Oke, dus eigenlijk wordt onze vergelijking dan
\(z=x+(1-x)\iota\)
. Dat begrijp ik wel.

Zou je even willen kijken of ik deze ook goed heb gedaan:
\(|z+1-\iota|^2 \leq 2\)
en
\(\frac{\pi}{2}\leq \arg(z) \leq \frac{3\pi}{4}\)
\((x+1)^2+(y-1)^2 \leq 2\)
Dus het is de cirkel met middelpunt (-1,1), straal [wortel]2 en daar dan het deel van tussen pi/2 en 3/4 pi

En deze kom ik niet helemaal uit:
\(arg\left(\frac{z}{\overline{z}}\right )=\frac{2 \pi}{3}\)
stel
\(z=e^{x+y\iota}\)
\(\overline{z}=e^{x-y\iota}\)
Dan is:
\(\frac{z}{\overline{z}}=e^{x+y\iota}\cdot e^{-(x-y\iota)}=e^{2y\iota}\)
\(\arg(e^{2y\iota})=2y=\frac{2\pi}{3}\)
\(y=\frac{\pi}{3}\)
Ik zie niet wat ik daarmee kan?
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:26

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

Voor we naar die volgende kijken, misschien even hier nog mee doorgaan.
Oke, dus eigenlijk wordt onze vergelijking dan
\(z=x+(1-x)\iota\)
. Dat begrijp ik wel.
Klopt (detail: gebruik maar gewoon "i" in plaats van de Griekse iota).

Als z en w complexe getallen zijn, dan stelt |z-w| de afstand voor tussen z en w, allebei gelegen in het complexe vlak. In het bijzonder is |z| de afstand tot de oorsprong, ook wel de "lengte" of "grootte" van z.

Je vergelijking was |z-1-i| = |z| of even handig herschreven: |z-(1+i)| = |z|. In woorden staat hier dus: alle complexe getallen z waarvoor de afstand tot 1+i gelijk is aan de afstand tot de oorsprong. Kijk nu nog eens naar mijn grafiek hierboven en duid er in gedachten de oorsprong en 1+i eens op aan... Begrijp je dan de ligging van alle oplossingen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:29

Emveedee

Berichten: 703

Re: Complexe vergelijking oplossen

Dus eigenlijk is het gewoon de middelloodlijn tussen de oorsprong en het punt (1,i), duidelijk :eusa_whistle:
Omhoog

Bericht 17-01-'10, 22:38

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe vergelijking oplossen

Inderdaad, want dat is de verzameling van alle punten op gelijk afstand tot (enz); het lijkt me nuttig dat je dit 'meetkundig inzicht' ook ontwikkelt.
Emveedee schreef:Oke, dus eigenlijk wordt onze vergelijking dan
\(z=x+(1-x)\iota\)
stel
\(z=e^{x+y\iota}\)
\(\overline{z}=e^{x-y\iota}\)
Dan is:
\(\frac{z}{\overline{z}}=e^{x+y\iota}\cdot e^{-(x-y\iota)}=e^{2y\iota}\)
\(\arg(e^{2y\iota})=2y=\frac{2\pi}{3}\)
\(y=\frac{\pi}{3}\)
Ik zie niet wat ik daarmee kan?
Deze notatie gaat mogelijk verwarring wekken volgens mij; heb jij dit gekozen of is dit een uitwerking uit je cursus? We gebruiken z = x+yi met x en y als reëel en imaginair deel. In exponentiële notatie, kan je het complex getal z met modulus r en argument t schrijven als r.eit. Werk het dan eens uit, je vindt t = pi/3. De oplossingenverzameling bestaat dus uit alle complexe getallen met argument pi/3; dus grafisch...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”