Lineaire combinatie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 8

Lineaire combinatie

Hoi,

eerst en vooral wil ik jullie bedanken met dit goede forum! Het heeft me al veel geholpen!

maar nu zit ik zelf nog met een paar moeilijkheden.

Bijvoorbeeld:

1) Schrijf indien mogelijk:

- de vector (1,-2,5) als een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,1),(1,2,3) en (2,-1,1)

- de matrix (2x2-matrix) [3 1 1 -1] als een lineaire combinatie van ook allemaal 2x2-matrices [1 1 1 0],[0 0 1 1] en [0 2 0 -1].

-Ik weet dat ik eerst moet testen of deze vectoren lineair onafhankelijk zijn:

1x-2y+5z=0

1x+1y+1z=0

1x+2y+3z=0

2x-1y+z=0 => als 0 geen oplossing is voor x,y,z dan weet ik dat ze lineair onafhankelijk zijn.

Maar hoe maak ik nu de lineaire combinatie van deze vectoren als blijkt dat ze lineair onafhankelijk zijn?

Of ben ik al mis met mijn redenering van lineair onafhankelijk?

Help me aub :eusa_whistle:

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire combinatie

Maarten.dc schreef:1) Schrijf indien mogelijk:

- de vector (1,-2,5) als een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,1),(1,2,3) en (2,-1,1)
Je wil nagaan of (1,-2,5) een lineaire combinatie is van de gegeven vectoren, dus of er a, b en c bestaan zodat:

(1,-2,5) = a.(1,1,1) + b.(1,2,3) + c.(2,-1,1)

Hiervoor hoeven die vectoren niet noodzakelijk lineair onafhankelijk te zijn. Dit stelsel kan je proberen op te lossen naar a, b en c. Gelijkaardig voor de tweede opgave.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8

Re: Lineaire combinatie

Is inderdaad, zo! Dus om een lineaire combinatie te maken moeten de vectoren niet lineair onafhankelijk zijn. Ik zat heel de tijd met de gedachte dat dit wel het geval moest zijn.

Bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire combinatie

Die drie vectoren moeten lineair onafhankelijk zijn om elke willekeurige vector (x,y,z) te kunnen "maken", maar voor een vaste gegeven vector hoeft dat niet noodzakelijk. Zo kan je (-5,0) schrijven als lineaire combinatie van (3,0) en (-7,0); deze laatste twee zijn nochtans niet lineair onafhankelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8

Re: Lineaire combinatie

Heb hier nog een vraagje, dit keer ivm voortbrengende verzamelingen:

Hoe toon je aan dat bv: {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)} een voortbrengende verzameling is voor |R^3 ( de reëele verzameling).

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire combinatie

Rechtstreeks: toon dat (x,y,z), met x,y en z willekeurig, als lineaire combinatie van de gegeven vectoren geschreven kan worden. Als je al verbanden met dimensie en lineaire (on)afhankelijkheid mag gebruiken, kan het volstaan te tonen dat de drie vectoren lineair onafhankelijk zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer