Lineaire combinatie
-
- Berichten: 8
Lineaire combinatie
Hoi,
eerst en vooral wil ik jullie bedanken met dit goede forum! Het heeft me al veel geholpen!
maar nu zit ik zelf nog met een paar moeilijkheden.
Bijvoorbeeld:
1) Schrijf indien mogelijk:
- de vector (1,-2,5) als een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,1),(1,2,3) en (2,-1,1)
- de matrix (2x2-matrix) [3 1 1 -1] als een lineaire combinatie van ook allemaal 2x2-matrices [1 1 1 0],[0 0 1 1] en [0 2 0 -1].
-Ik weet dat ik eerst moet testen of deze vectoren lineair onafhankelijk zijn:
1x-2y+5z=0
1x+1y+1z=0
1x+2y+3z=0
2x-1y+z=0 => als 0 geen oplossing is voor x,y,z dan weet ik dat ze lineair onafhankelijk zijn.
Maar hoe maak ik nu de lineaire combinatie van deze vectoren als blijkt dat ze lineair onafhankelijk zijn?
Of ben ik al mis met mijn redenering van lineair onafhankelijk?
Help me aub :eusa_whistle:
eerst en vooral wil ik jullie bedanken met dit goede forum! Het heeft me al veel geholpen!
maar nu zit ik zelf nog met een paar moeilijkheden.
Bijvoorbeeld:
1) Schrijf indien mogelijk:
- de vector (1,-2,5) als een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,1),(1,2,3) en (2,-1,1)
- de matrix (2x2-matrix) [3 1 1 -1] als een lineaire combinatie van ook allemaal 2x2-matrices [1 1 1 0],[0 0 1 1] en [0 2 0 -1].
-Ik weet dat ik eerst moet testen of deze vectoren lineair onafhankelijk zijn:
1x-2y+5z=0
1x+1y+1z=0
1x+2y+3z=0
2x-1y+z=0 => als 0 geen oplossing is voor x,y,z dan weet ik dat ze lineair onafhankelijk zijn.
Maar hoe maak ik nu de lineaire combinatie van deze vectoren als blijkt dat ze lineair onafhankelijk zijn?
Of ben ik al mis met mijn redenering van lineair onafhankelijk?
Help me aub :eusa_whistle:
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire combinatie
Je wil nagaan of (1,-2,5) een lineaire combinatie is van de gegeven vectoren, dus of er a, b en c bestaan zodat:Maarten.dc schreef:1) Schrijf indien mogelijk:
- de vector (1,-2,5) als een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,1),(1,2,3) en (2,-1,1)
(1,-2,5) = a.(1,1,1) + b.(1,2,3) + c.(2,-1,1)
Hiervoor hoeven die vectoren niet noodzakelijk lineair onafhankelijk te zijn. Dit stelsel kan je proberen op te lossen naar a, b en c. Gelijkaardig voor de tweede opgave.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8
Re: Lineaire combinatie
Is inderdaad, zo! Dus om een lineaire combinatie te maken moeten de vectoren niet lineair onafhankelijk zijn. Ik zat heel de tijd met de gedachte dat dit wel het geval moest zijn.
Bedankt!
Bedankt!
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire combinatie
Die drie vectoren moeten lineair onafhankelijk zijn om elke willekeurige vector (x,y,z) te kunnen "maken", maar voor een vaste gegeven vector hoeft dat niet noodzakelijk. Zo kan je (-5,0) schrijven als lineaire combinatie van (3,0) en (-7,0); deze laatste twee zijn nochtans niet lineair onafhankelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8
Re: Lineaire combinatie
Heb hier nog een vraagje, dit keer ivm voortbrengende verzamelingen:
Hoe toon je aan dat bv: {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)} een voortbrengende verzameling is voor |R^3 ( de reëele verzameling).
Hoe toon je aan dat bv: {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)} een voortbrengende verzameling is voor |R^3 ( de reëele verzameling).
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire combinatie
Rechtstreeks: toon dat (x,y,z), met x,y en z willekeurig, als lineaire combinatie van de gegeven vectoren geschreven kan worden. Als je al verbanden met dimensie en lineaire (on)afhankelijkheid mag gebruiken, kan het volstaan te tonen dat de drie vectoren lineair onafhankelijk zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)